Меню Главная Случайная статья Настройки Конечное кольцо Материал из https://ru.wikipedia.org Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество ${\displaystyle R}$, на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения ${\displaystyle R}$ образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля. Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей[1]. Содержание 1 Примеры конечных колец 2 Некоторые свойства 3 Теоремы Веддербёрна 4 Примечания 5 Литература Примеры конечных колец Самым простым примером является тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей[2]. Все остальные конечные кольца называются нетривиальными. Классическим примером конечного кольца является ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю ${\displaystyle n}$. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle n}$ простое[3]. Если же число ${\displaystyle n}$ составное, то в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ существуют делители нуля. Например множество ${\displaystyle \{0;\ 2;\ 4;\ 6\}}$ с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля: ${\displaystyle 2\cdot 4=4\cdot 6=0.}$ Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел. Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю ${\displaystyle n}$, уже не коммутативно. Кольцо подмножеств конечного множества ${\displaystyle X}$ — это кольцо, элементами которого являются подмножества в ${\displaystyle X}$. В качестве операции сложения выступает симметрическая разность, а в роли умножения выступает пересечение множеств: ${\displaystyle A+B=A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$ ${\displaystyle A\cdot B=A\cap B}$ Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё ${\displaystyle X}$. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть ${\displaystyle A\cdot A=A}$. Любой элемент является своим обратным по сложению: ${\displaystyle A+A=0.}$ Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности, для построения теории вероятностей[2]. Каждое конечное поле или конечное тело одновременно является конечным кольцом. Некоторые свойства В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. В самом деле, пусть ${\displaystyle a}$ — ненулевой элемент кольца порядка ${\displaystyle n}$; составим произведения ${\displaystyle a}$ на все ненулевые элементы кольца: ${\displaystyle aa_{1}\dots aa_{n-1}}$. Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны: ${\displaystyle aa_{i}=aa_{k},}$ или ${\displaystyle a(a_{i}-a_{k})=0.}$ В обоих случаях ${\displaystyle a}$ — делитель нуля, ч. т. д. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения). Кольцо ${\displaystyle R}$ с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов ${\displaystyle R}$ равны нулю) называется простым, если в нём нет двусторонних идеалов, кроме тривиального подкольца и самого ${\displaystyle R}$. Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом. Теоремы Веддербёрна Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению)[4][5]. Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента ${\displaystyle a}$ из кольца ${\displaystyle R}$ существует такое целое ${\displaystyle n>1}$, что ${\displaystyle a^{n}=a}$, то кольцо ${\displaystyle R}$ коммутативно[6]. Обнаружены и другие признаки коммутативности колец[7]. Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть ${\displaystyle R}$ — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо ${\displaystyle R}$ изоморфно кольцу всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ над некоторым телом. При этом ${\displaystyle n}$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела ${\displaystyle D}$ кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (D,n)}$ является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полем[8]. Примечания последовательность A027623 в OEIS 1 2 Винберг, 2011, с. 18-19. Винберг, 2011, с. 28—34. Херстейн, 1972, с. 70—71. Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — С. 113. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1. Архивировано 28 марта 2017 года. Херстейн, 1972, с. 74. Pinter-Lucke J. Commutativity conditions for rings: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. — 2007. — Т. 25, вып. 2. — С. 165—174. — doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001. Ван дер Варден, 1975, с. 372. Литература Бельский А., Садовский Л. Кольца // Квант. — 1974. — № 2.