Меню Главная Случайная статья Настройки Правильные многомерные многогранники Материал из https://ru.wikipedia.org Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами. Содержание 1 История 2 Определение 3 Классификация 3.1 Размерность 4 3.2 Размерности 5 и выше 4 Геометрические свойства 4.1 Углы 4.2 Радиусы, объёмы 4.3 Замощения 4.3.1 В размерности n = 4 4.3.2 В размерности n 5 5 См. также 6 Примечания 7 Ссылки История Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли.[1] Определение Флагом n-мерного многогранника ${\displaystyle P}$ называется набор его граней ${\displaystyle F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{n-1})}$, где ${\displaystyle F_{i}}$ есть ${\displaystyle i}$-мерная грань многогранника Р, причем ${\displaystyle F_{i}\subseteq F_{n-1}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$. Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник ${\displaystyle P}$, у которого для любых двух его флагов ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F'}$ найдётся движение ${\displaystyle P}$, переводящее ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle F'}$. Классификация Размерность 4 Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников): Название Изображение (диаграмма Шлегеля) Символ Шлефли Ячейка Число ячеек Число граней Число рёбер Число вершин Пятиячейник {3,3,3} правильный тетраэдр 5 10 10 5 Тессеракт {4,3,3} куб 8 24 32 16 Шестнадцатиячейник {3,3,4} правильный тетраэдр 16 32 24 8 Двадцатичетырёхячейник {3,4,3} октаэдр 24 96 96 24 Стодвадцатиячейник {5,3,3} додекаэдр 120 720 1200 600 Шестисотячейник {3,3,5} правильный тетраэдр 600 1200 720 120 Размерности 5 и выше В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа): Название Символ Шлефли n-мерный правильный симплекс {3;3;...;3;3} n-мерный гиперкуб {4;3;...;3;3} n-мерный гипероктаэдр {3;3;...;3;4} Геометрические свойства Углы Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}}$, определяется по формуле[2][3][4]: ${\displaystyle \sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-1}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-2}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-3}}}}{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}}$ где ${\displaystyle \beta }$ — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника Радиусы, объёмы Радиус вписанной N-мерной сферы: ${\displaystyle r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },}$ где ${\displaystyle r_{N-1}}$ — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани. Объём N-мерного многогранника: ${\displaystyle V_{N}={\frac {1}{N}}V_{N-1}A_{N-1}r_{N},}$ где ${\displaystyle V_{N-1}}$ — объём (N-1)-мерной грани, ${\displaystyle A_{N-1}}$ — количество (N-1)-мерных граней. Замощения Тессерактовые соты[англ.] Шестнадцатиячейниковые соты[англ.] Двадцатичетырёхячейниковые соты[англ.] Гиперкубические соты См. также Платоново тело Список правильных многогранников и соединений Примечания Schlfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuitt". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237. Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с. Ссылки Наглядный пример на YouTube Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D  (неопр.) (2003). Дата обращения: 30 января 2011. Архивировано из оригинала 4 мая 2012 года. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.