Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Решение уравнения
Материал из https://ru.wikipedia.org

В математике решение уравнения — это задача по нахождению всех значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).

Например, уравнение решается для неизвестного с помощью замены так как замена переменной на выражение превращает уравнение в тождество: Кроме того, если положить неизвестной переменную тогда уравнение решается с помощью замены . Замена переменной на выражение превращает уравнение в тождество: Также и могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например,  — то есть и а в общем, для всех возможных значений.

В зависимости от задачи, может требоваться найти одно решение (любое подходящее решение) или все решения уравнения. Все решения уравнения называются множеством решений. Помимо простого нахождения решения, может ставиться задача по нахождению наилучшего решения уравнения по какому-либо параметру. Задачи такого рода называются задачами оптимизации. Решения задач оптимизации, как правило, не называются «решениями уравнения».

Содержание

Аналитические методы решения уравнения

Под методом решения задачи (в т.ч. уравнения) понимается, прежде всего, пошаговый алгоритм.

Аналитический метод решения (иначе, просто аналитическое решение) — это выражение замкнутой формы, которое может быть вычислено за конечное число операций. Однако, существуют формулы (выражения), содержащие в себе невычислимые (или непредставимые) на данном этапе развития теории и технологий функции. Далее под аналитическим решением мы будем иметь в виду любое решение, записанное в формульном виде, содержащее в себе известные или определённые функции от параметров (в случае числовых уравнений) или переменных (в случае функциональных уравнений). Ниже приведены основные аналитические методы решений различного вида уравнений.

Метод подбора значения

Самый простой нелогичный (т.к. не требует никакого подчинения законам математической логики) метод решения уравнения, заключающийся в угадывании правильного значения корня. С этого метода начинается обучение решению более сложных уравнений, чем линейные (напр., квадратные и кубические), в 5—7-х классах средней образовательной школы в России.

Пример решения уравнения методом подбора:

Одним из корней уравнения будет Чтобы проверить правильность подобранного значения, необходимо подставить его в исходное уравнение вместо переменной .

Требуемое тождественное равенство выполняется, а это значит, что найденное значение является правильным (то есть входит в множество решений уравнения).

Недостатки метода подбора:
  • Чаще всего, корнями уравнения являются иррациональные (алгебраически иррациональные или даже трансцендентные) числа, угадать которые практически невозможно;
  • Методом подбора нельзя указать на отсутствие решения при каких-либо ограничениях на значение решений;
  • В случае бесконечного множества решений (напр., в уравнениях с двумя и более переменными) данный метод совершенно не подходит, однако, бывает полезен, когда с помощью одного подобранного правильного значения каким-либо другим известным методом можно получить остальные допустимые решения[1];
  • Далеко не все уравнения представлены в виде простых функций от переменной, так что решить такие уравнения метод подбора также неспособен;
  • Применимость данного метода ограничивается не только сложностью уравнений, их видом и областью допустимых решений, но также наличием хороших вычислительных способностей, знанием наиболее часто встречающихся значений и их соответствия конкретному виду уравнений[2].


Преимущества метода подбора:
  • Простота использования (применение метода подбора не требует выполнения практически никаких логических действий, за исключением проверки);
  • Скорость получения решения (обычно, там, где на необходимость применения метода подбора указано в контексте, решения подбираются довольно-таки быстро);
  • Доступность в применении (ведь иногда бывает так, что аналитическое решение какого-либо вида уравнения отсутствует совсем, но значение можно подобрать в каком-то конкретном случае, например, уравнение пока что[уточнить] невозможно


Полный перебор

Частным случаем метода подбора является метод полного перебора — то есть поиска решения исчерпыванием всевозможных вариантов. Используется в случае, если множество всех решений (либо всех решений, удовлетворяющих определённым условиям) конечно.

Метод обратной операции [инверсии]

Данный метод решения уравнений, называемый иначе методом построения обратной функции, основывается на свойстве обратной функции нивелировать влияние функции на значение переменной[4]:

или, что по сути то же самое,

Метод обычно используется в составе других методов решений и самостоятельно применяется лишь тогда, когда переменные и константы находятся по разные стороны от знака равенства:

Самый простой пример — линейное уравнение: Здесь значит и получаем: теперь то же самое нужно проделать с другой частью уравнения: отсюда Проверка:

Ещё пример:

Рассмотрим следующую задачу со схемой решения: если дано уравнение вида , где — константа, то искомое неизвестное равно .

Иногда, для того чтобы решить уравнение , можно поступить через реверсию. Другими словами, решить уравнение , которое может оказаться проще, чем исходное. Далее все решения приравнять либо к левой части исходного равенства, либо же приравнять к правой, то есть . И таким образом можно найти неизвестное.

Недостатки метода обратной операции:
  • Иногда обратная функция от переменной в составе других методов решений приводит к нескольким результатам, из-за чего в решении появляются посторонние корни, которые были получены логическим путём, но не подходят в уравнение (нарушают тождественное равенство)[5][6], что выясняется только при проверке;
  • Обратные операции, чаще всего, кажутся гораздо более сложными, чем обычные (например, дети начальных классов воспринимают деление как более сложное действие, чем "привычное" им умножение; старшеклассники часто долго приспосабливаются к интегрированию, потому что дифференцирование для них, также весьма привычное, воспринимается более лёгким);
  • В редких случаях та или иная операция обратна сама себе [инволюция] (допустим, как линейная функция или интеграл и производная от показательной функции [7]);
  • Не все обратные функции представимы в виде композиций других известных функций (чаще всего, это интегралы — интегралы Френеля, функция Лапласа, интегральные синус и косинус, интегральная экспонента, или, например, неэлементарные, такие, как W-функция Ламберта, тетрация и суперкорень);
  • Не всякая обратная операция даёт допустимое или вообще хоть какое-нибудь решение (например, функция даёт действительное число при любом значении переменной, однако, это значение всегда неотрицательно[8], из-за чего нахождение обратной функции ограничивается неотрицательностью аргумента; также, например, существуют неинтегрируемые[9] или недифференцируемые[10] функции, наподобие функции Дирихле, функции Вейерштрасса и др.);
  • Для некоторых обратных операций до сих пор не существует алгоритма вычисления, так что значения этих функций, как решения каких-либо уравнений, так и остаются в виде формул (например, суперлогарифм, -функция Римана и т. д.).


Преимущества метода обратных операций:
  • В отличие от метода подбора, применение обратных функций, чаще всего, позволяет не упустить дополнительные существующие допустимые решения, даже если их множество бесконечно;
  • Обратные операции являются одной из основных составляющих почти любых логичных методов решения уравнений, используются гораздо чаще и на своём примере помогают лучше разобраться в понятиях области допустимых значений, области определения и области изменения значения аргумента(-ов);
  • В большинстве случаев значения обратных функций можно вычислить с помощью различного рода калькуляторов или же, наоборот, оставить их в формульном выражении для удобства в дальнейшем применении.


Графический метод

Данный метод решения задач (в том числе, уравнений) основывается на базовом свойстве графиков функций — определённым и (в идеале) точным отображением значений аргументов и значений функций от этих аргументов в пространстве координат, вследствие чего каждая точка графика имеет не более одного набора этих значений для каждой конкретной функции (то есть два значения от одного и того же аргумента не могут быть присвоены одной и той же точке координат).

По определению, две функции имеют одну общую точку (точку пересечения графиков) тогда, когда их значения от одного(их) и того(тех) же значения(-й) аргумента(-ов) равны:

Например, решим графически уравнение (см. рисунок ниже):

Здесь чёрным цветом показан график функции синим цветом — график функции Абсциссы точек A и B образуют множество решений исходного уравнения: что легко находится проекцией точек на ось абсцисс (ось ). Проверка: и Решение является исчерпывающим, поскольку прямая не может пересечь параболу более двух раз (согласно основной теореме алгебры).

Недостатки графического метода:
  • Графически, за исключением простых случаев, можно получить только приблизительное решение;
  • Не всякие значения и не всяких функций вычислимы, поэтому их графики самостоятельно построить нельзя;
  • Не зная свойств входящих в уравнение функций, невозможно точно утверждать, является ли полученное множество решений исчерпывающим;
  • Чаще всего, применимость данного метода ограничивается построением графиков функций в окрестностях центра координат;
  • Воспроизведение графиков функций, что называется, "в уме" бывает достаточно затруднительным, в таких случаях без каких-либо дополнительных приспособлений никак не обойтись.


Преимущества графического метода:
  • Простота использования (уровня знаний средней школы вполне достаточно);
  • Доступность в применении (например, когда решение уравнения ещё не изучалось или отсутствует вовсе);
  • Наглядность представления (помогает лучше понять, что представляет собой какое-либо решение и как его можно изобразить)[11].


Кроме описанного метода существуют специальные модифицированные графические методы, такие, например, как метод Лиля.

Метод оценки
Downgrade Counter