Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
.
Таблица показывает 11 выпуклых однородных мозаик (правильных и полуправильных) на евклидовой плоскости, а также их двойственные мозаики.
Имеется три правильные и одиннадцать полуправильных мозаик на плоскости.
Полуправильные мозаики образуют плитки из своих двойственных мозаик, состоящих из одного типа плиток.
Джон Конвей называл эти однородные двойственные мозаики мозаиками Каталана по аналогии с каталановыми многогранниками.
Однородные мозаики перечислены по их конфигурации вершин, последовательности граней, примыкающих к каждой вершине.
Например, 4.8.8 означает квадрат и два восьмиугольника в вершине.
Эти 11 однородных мозаики имеют 32 различные однородные раскраски.
Однородная раскраска позволяет многоугольники с тем же число сторон быть выкрашенными в разные цвета, если сохраняется однородность вершин
и конгруэнтность при движении между вершинами. (Заметьте, некоторые рисунки ниже не однородны по раскраске.)
Ещё 28 однородных мозаик используют апейрогоны. Если допустим зигзаг, есть ещё 23 известные однородные мозаике и ещё 10 семейств зависят от параметра -
в 8 случаях параметр непрерывен, в двух случаях - дискретен. Неизвестно, полно ли множество известных мозаик.
Содержание
Мозаики Лавеса
В книге 1987 года Tilings and patterns[англ.] (Мозаики и узоры) Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми по аналогии с архимедовыми телами.
Их двойственные мозаики называются мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса[1][2].
Они также называются мозаиками Шубникова–Лавеса в честь Алексея Васильевича Шубникова[3].
Джон Конвей называл одвойственные однородным мозаикам мозаиками Картана по аналогии с каталановыми телами.
Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников, а рёбра соединяют центры правильных многоугольников.
Плитки мозаик Лавеса называются планигонами.
Оги включают 3 правильные плитки (треугольная, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток[4].
Каждая вершина имеет рёбра, равномерно расположенные вокруг неё. Трёхмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами.
Двойственные мозаики перечислены по из конфигурации грани, числу граней в каждой вершине. Например V4.8.8 означает плитку в виде равнобедренного треугольника, а два угла содержат по восемь треугольников.
Одиннадцать планигонов
| Треугольники |
Четырёхугольники |
Пятиугольники |
Шестиугольники
|
V63
|
V4.82
|
V4.6.12
|
V3.122
|
V44
|
V(3.6)2
|
V3.4.6.4
|
V32.4.3.4
|
V34.6
|
V33.42
|
V36
|
Выпуклые однородные мозаики на евклидовой плоскости
Все формы отражения согут быть созданы построениями Витхоффа, предcтавленными символами Витхофа[англ.] или
диаграммами Коксетера — Дынкина.
Частично усечённые[англ.] формы, такие, как отсечение вершин, могут быть также представлены при использовании специальных меток внутри каждой системы.
Только одна однородная мозаика не может быть построена с помощью процесса Витхофа, но она может быть получена с помощью удлиннения треугольной мозаики.
Построение с ортогональным зеркалом [,2,] также существует и представляет собой набор параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область.
Если фундаментальная область является квадратом, симметрия может быть удвоена диагональным зеркалом.
Семейства:
- (4,4,2), , [4,4] – Симметрия правильной квадратной мозаики
- , [,2,]
- (6,3,2), , [6,3] – Симметрия правильной шестиугольный мозаики и треугольной мозаики.
- (3,3,3), , [3[3]]
Семейство групп [4,4]
Семейство групп [6,3]
| Правильные и архимедовы мозаики
|
Вершинная фигура и двойственная грань
Символ(ы) Витхофа[англ.]
Группы симметрии
Диаграммы Коксетера
|
Двойственные мозаики Лавеса
|
Шестиугольная мозаика (шестипаркет)
|
6.6.6 (или 63)
3 | 6 2
2 6 | 3
3 3 3 |
p6m, [6,3], (*632)
|
Треугольная мозаика (дельта-мозаика)
|
Тришестиугольная мозаика (шестидельтамозаикаdeltille)
|
(3.6)2
2 | 6 3
3 3 | 3
p6m, [6,3], (*632)
=
|
Ромбическая мозаика (ромбический паркет)
|
Усечённая шестиугольная мозаика (усечённы шестипаркет)
|
3.12.12
2 3 | 6
p6m, [6,3], (*632)
|
Трижды разделённая треугольная мозаика (кис-делтапаркет)
|
Треугольная мозаика (дельта-мозаика)
|
3.3.3.3.3.3 (или 36)
6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
p6m, [6,3], (*632)
=
|
Шестиугольная мозаика (шестипаркет)
|
Ромботришестиугольная мозаика (ромбощестидельтамозаика)
|
3.4.6.4
3 | 6 2
p6m, [6,3], (*632)
|
Дельтоидальная тришестиугольная мозаика (тетрапаркет)
|
Усечённая тришестиугольная мозаика (усечённая шестидельтамозаика)
|
4.6.12
2 6 3 |
p6m, [6,3], (*632)
|
Кисромбическая мозаика (кисромбический паркет)
|
Плосконосая тришестиугольная мозаика (курносая шестимозаика)
|
3.3.3.3.6
| 6 3 2
p6, [6,3]+, (632)
|
Цветочная пятиугольная мозаика (6-кратный пятипаркет)
|
Невитхофова однородная мозаика
Однородные раскраски
Существует в общей сложности 32 однородные раскраски 11 однородных мозаик:
- Треугольная мозаика – 9 однородных раскрасок, 4 витхофовы, 5 невитхофовых
- Квадратная мозаика – 9 раскрасок, : 7 витхофовых, 2 невитхофовых
- Шестиугольная мозаика – 3 раскраски, все витхофовы
- Тришестиугольная мозаика – 2 раскраски, обе витхофовы
- Плосконосая квадратная мозаика – 2 раскраски, обе витхофовы
- Усечённая квадратная мозаика – 2 раскраски, обе витхофовы
- Усечённая шестиуголная мозаика[англ.] – 1 раскраска, витхофова
- Ромботришестиугольная мозаика[англ.] – 1 раскраска, витхофова
- Усечённая тринестиугольная мозаика[англ.] – 1 раскраска, витхофова
- Плосконосая тришестиугольная мозаика – 1 чередующаяся раскраска, витхофова
- Удлиннённая треугольная мозаика[англ.] – 1 раскраска, невитхофова
См. также
Примечания
- Grnbaum, Shephard, 1987, с. 59, 96.
- Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 288.
- Encyclopaedia of Mathematics: Orbit - Rayleigh Equation, 1991
- Ivanov, A. B. (2001), Planigon, in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics (англ.), Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Литература
Литература для дальнейшего чтения
Ссылки
|
|
