Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Архимедово тело
Материал из https://ru.wikipedia.org

Архимедово тело (или архимедов многогранник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую.

Архимедовы тела отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.

Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гиробикупол (псевдо­ромбо­кубо­октаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдо­ромбо­кубо­октаэдра, Грюнбаум[1] предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гиробикупол), в то время как однородный многогранник определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).

Призмы и антипризмы, группами симметрий которых являются диэдрические группы, обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Витхоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной, октаэдральной[англ.] и икосаэдральной симметрий.

Содержание

Источник названия

Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников[1]. Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером[2], который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.

Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Дунканом Соммервилем[англ.][1].

Классификация

Существует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гиробикупола; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов, которые ниже перечислены отдельно).

Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).
Название
(Альтернативное название) 		Шлефли
Коксетер 		Прозрачный Непрозрачный Развёртка Вершинная
фигура 		Граней Рёбер Вершин Объём
(при единич-
ном ребре) 		Группа
точек
Усечённый тетраэдр {3,3}
(Вращение) 		3.6.6
 8 4 треугольника
4 шестиугольника 		18 12 2.710576 Td
Кубооктаэдр
(ромботетраэдр)		 r{4,3} или rr{3,3}
или
(Вращение) 		3.4.3.4
 14 8 Треугольников
6 квадратов 		24 12 2.357023 Oh
Усечённый куб t{4,3}
(Вращение) 		3.8.8
 14 8 треугольников
6 восьмиугольников 		36 24 13.599663 Oh
Усечённый октаэдр
(усечённый тетратераэдр)		 t{3,4} или tr{3,3}
или

(Вращение)

4.6.6
 14 6 квадратов
8 шестиугольников 		36 24 11.313709 Oh
Ромбокубооктаэдр
(малый ромбокубооктаэдр)		 rr{4,3}
(Вращение) 		3.4.4.4
 26 8 треугольников
18 квадратов 		48 24 8.714045 Oh
Усечённый кубооктаэдр
(большой ромбокубооктаэдр)		 tr{4,3}
(Вращение) 		4.6.8
 26 12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников 		72 48 41.798990 Oh
Курносый куб, или плосконосый куб
(плосконосый кубоктаэдр)		 sr{4,3}
(Вращение) 		3.3.3.3.4
 38 32 треугольника
6 квадратов 		60 24 7.889295 O
Икосододекаэдр r{5,3}
(Вращение) 		3.5.3.5
 32 20 треугольников
12 пятиугольников 		60 30 13.835526 Ih
Усечённый додекаэдр t{5,3}
(Вращение) 		3.10.10
 32 20 треугольников
12 десятиугольников 		90 60 85.039665 Ih
Усечённый икосаэдр t{3,5}
(Вращение) 		5.6.6
 32 12 пятиугольников
20 шестиугольников 		90 60 55.287731 Ih
Ромбоикосододекаэдр
(малый ромбоикосододекаэдр)		 rr{5,3}
(Вращение) 		3.4.5.4
 62 20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников 		120 60 41.615324 Ih
Ромбоусечённый икосододекаэдр tr{5,3}
(Вращение) 		4.6.10
 62 30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников 		180 120 206.803399 Ih
Плосконосый додекаэдр
(плосконосый икосододекаэдр)		 sr{5,3}
(Вращение) 		3.3.3.3.5
 92 80 треугольников
12 пятиугольников 		150 60 37.616650 I


Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гиробикупол или «псевдоромбокубооктаэдр»[3].

Свойства

Число вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.

Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются рёберно однородными[англ.] и называются квазиправильными.

Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням телами с правильными вершинами.

Хиральность

Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).

Построение архимедовых тел

Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.
Построение архимедовых тел
Симметрия Тетраэдральная
 Октаэдральная[англ.]
Икосаэдральная
Начальное тело
Операция		 Символ
{p, q}
 Тетраэдр
{3,3}
 Куб
{4,3}
 Октаэдр
{3,4}
 Додекаэдр
{5,3}
 Икосаэдр
{3,5}
Усечение (t) t{p, q}
 Усечённый тетраэдр
 Усечённый куб
 Усечённый октаэдр
 Усечённый додекаэдр
 Усечённый икосаэдр
Полное усечение (r)
Амвон (a)		 r{p, q}
 Тетратетраэдр
 Кубооктаэдр
 Икосододекаэдр
Глубокое усечение[англ.] (2t)
(dk)		 2t{p, q}
 Усечённый тетраэдр
 усечённый октаэдр
 усечённый куб
 усечённый икосаэдр
 усечённый додекаэдр
Двойное полное усечение (2r)
Двойственный (d)		 2r{p, q}
 тетраэдр
 октаэдр
 куб
 икосаэдр
 додекаэдр
Скашивание (rr)
Растяжение (e)		 rr{p, q}
 Кубооктаэдр
 Ромбокубооктаэдр
 ромбоикосододекаэдр
Плосконосое спрямление (sr)
Спрямление (s)		 sr{p, q}
 плосконосый тетратетраэдр
 плосконосый куб
 плосконосый икосододекаэдр
скос-усечение[англ.] (tr)
Скашивание (b)		 tr{p, q}
 Усечённый октаэдр
 Усечённый кубооктаэдр
 Ромбоусечённый икосододекаэдр


Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.

См. также

Примечания
  1. 1 2 3 Grnbaum, 2009.
  2. Field, 1997, p. 241—289.
  3. Malkevitch, 1988, p. 85.


Литература
  • Field J.  Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Drer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
  • Grnbaum, Branko.  An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — doi:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
  • Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston: Birkhuser, 1988. — P. 80–92.
  • Udaya, Jayatilake.  Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.


Ссылки
Downgrade Counter