Меню Главная Случайная статья Настройки Квадратный паркет Материал из https://ru.wikipedia.org Квадратная мозаика Тип Правильная мозаика[англ.] Конфигурация граней 4.4.4.4 (или 44) | Конфигурация граней V4.4.4.4 (или V44) Символ Шлефли {4,4} ${\displaystyle \{\infty \}\times \{\infty \}}$ Символ Витхоффа 4 | 2 4 Диаграммы Коксетера — Дынкина Симметрия p4m, [4,4], (*442) Симметрия вращения ], p4, [4,4]+, (442)| Двойственная мозаика самодвойственны Свойства вершинно транзитивная гране транзитивная рёберно транзитивная Квадратный паркет, квадратный паркетаж[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата. Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль). Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика. Содержание 1 Однородные раскраски 2 Связанные многогранники и мозаики 3 Построение Витхоффа из квадратной мозаики 4 Топологически эквивалентные мозаики 5 Упаковка кругов 6 Связанные правильные комплексные бесконечноугольники 7 См. также 8 Примечания 9 Литература 10 Ссылки Однородные раскраски Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112i получается из 1213, 1123i из 1234, а 1112ii из 1123ii. 9 однородных раскрасок 1111 1212 1213 1112i 1122 p4m (*442) p4m (*442) pmm (*2222) 1234 1123i 1123ii 1112ii pmm (*2222) cmm (2*22) Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п. Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го. Связанные многогранники и мозаики Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5… Варианты симметрии *n42 правильных мозаик: {4,n} Сферические Евклидовы Компактные гиперболические Паракомпактные {4,3} {4,4} {4,5} {4,6} {4,7} {4,8}... {4,} Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера — при n, стремящемся к бесконечности. Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4} Сферические Евклидовы Гиперболические мозаики 24 34 44 54 64 74 84 ...4 Варианты симметрии *n42 квазиправильных двойственных мозаик: V(4.n)2 Симметрия *4n2 [n,4] Сферические Евклидовы Компактные гиперболические Паракомпактные Некомпактные *342 [3,4] *442 [4,4] *542 [5,4] *642 [6,4] *742 [7,4] *842 [8,4]... *42 [,4]   [i/,4] Мозаика   Конф. V4.3.4.3 V4.4.4.4 V4.5.4.5 V4.6.4.6 V4.7.4.7 V4.8.4.8 V4..4. V4..4. Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: n.4.4.4 Симметрия [n,4], (*n42) Сферические Евклидовы Компактные гиперболические Паракомпактные *342 [3,4] *442 [4,4] *542 [5,4] *642 [6,4] *742 [7,4] *842 [8,4] *42 [,4] Расширенные тела Конфиг. 3.4.4.4 4.4.4.4 5.4.4.4 6.4.4.4 7.4.4.4 8.4.4.4 .4.4.4 Ромбические тела конфиг. V3.4.4.4 V4.4.4.4 V5.4.4.4 V6.4.4.4 V7.4.4.4 V8.4.4.4 V.4.4.4 Построение Витхоффа из квадратной мозаики Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик[англ.], имеющих в основе правильную квадратную мозаику. Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика. Однородные мозаики на основе симметрии квадратной мозаики Симметрия: [4,4], (*442) [4,4]+, (442) [4,4+], (4*2) {4,4} t{4,4} r{4,4} t{4,4} {4,4} rr{4,4} tr{4,4} sr{4,4} s{4,4} Uniform duals V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.4.4.4 V4.8.8 V3.3.4.3.4 Топологически эквивалентные мозаики Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине). Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет[2]. Изоэдральные четырёхугольные мозаики Квадрат p4m, (*442) Четырёхугольник p4g, (4*2) Прямоугольник pmm, (*2222) Параллелограмм p2, (2222) Параллелограмм pmg, (22*) Ромб cmm, (2*22) Ромб pmg, (22*) Трапеция cmm, (2*22) Четырёхугольник pgg, (22) Дельтоид pmg, (22*) Четырёхугольник pgg, (22) Четырёхугольник p2, (2222) Вырожденные четырёхугольники или треугольники, не соприкасающиеся ребро-к-ребру Равнобедренный pmg, (22*) Равнобедренный pgg, (22) Неравносторонний pgg, (22) Неравносторонний p2, (2222) Упаковка кругов Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)[3]. Плотность упаковки равна ${\displaystyle \pi /4\approx 78{,}54\%}$. Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов. Связанные правильные комплексные бесконечноугольники Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна[4]. Самодвойственные Двойственные 4{4}4 или 2{8}4 или 4{8}2 или См. также Список правильных многомерных многогранников и соединений Список однородных мозаик[англ.] Квадратная решётка Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости Примечания Голомб, 1975, с. 147. Grnbaum, Shephard, 1987, с. 473—481. Critchlow, 1987, с. 74—75. Coxeter, 1973, с. 111—112, 136. Литература Голомб С. В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с. Klitzing, Richard 2D Euclidean tilings o4o4x — squat — O1 Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine Ссылки Weisstein, Eric W. Square Grid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Regular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.