Меню Главная Случайная статья Настройки Тета-функция Материал из https://ru.wikipedia.org Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля[1]. Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими[англ.]. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения[англ.] понижения[англ.]. Содержание 1 Тета-функция Якоби 2 Вспомогательные функции 3 Тождества основная 4 Тождества Якоби 5 Тета-функции в терминах нома 6 Представления произведений 7 Интегральные представления 8 Явные значения 8.1 Лемнискатические значения 8.2 Эквиангармонические значения 8.3 Значения тета над факториалами восьмых 9 Некоторые тождества с рядами 10 Нули тета-функций Якоби 11 Связь с дзета-функцией Римана 12 Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса 13 Связь с q-гамма функцией 14 Связь с эта-функцией Дедекинда 15 Эллиптический модуль 16 Решение теплового уравнения 17 Связь с группой Гейзенберга 18 Обобщения 18.1 Тета-функция Рамануджана 18.2 Риманова тета-функция 18.3 Ряд Пуанкаре 19 Уравнения пятой степени 19.1 Решение формы Бринга-Джеррарда 19.2 3 примера расчёта 20 Примечания 21 Литература 22 Литература для дальнейшего чтения 23 Ссылки Тета-функция Якоби Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от 2 комплексных переменных ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}}$ где ${\displaystyle q=\exp(\pi {i}\tau )}$ и ${\displaystyle \eta =\exp(2\pi {i}z)}$. Функция является формой Якоби[англ.]. Если фиксировать ${\displaystyle \tau }$, функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от ${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$ Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода ${\displaystyle \tau }$ и удовлетворяет функциональному уравнению ${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),}$ где Вспомогательные функции Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0: ${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$ Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}$ Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома[англ.] ${\displaystyle q=e^{i{\pi }\tau }}$, а не ${\displaystyle \tau }$. В обозначениях Якоби ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$ Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью Тета-функции Якоби (вариации обозначений)[англ.] с дальнейшим обсуждением. Если мы положим ${\displaystyle z=0}$ в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от ${\displaystyle \tau }$ и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых. Тождества основная Так называемые функции «тета-нульверт» (Theta-Nullwert) имеют следующее представление суммы и следующее представление произведения: ${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{k^{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k^{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}$ ${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=x^{1/4}\sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{k(k+1)}=2\,x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}$ Тета-функция удовлетворяет следующему основному соотношению с «номеном q»: ${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}q(k){\bigr ]}={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}{\bigl [}q(k){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{10}{\bigl [}q(k){\bigr ]}={\sqrt {|k|}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$ ${\displaystyle q(k)=\exp {\bigl [}-\pi \,K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k){\bigr ]}}$ Следующие 2 формулы определяют полный эллиптический интеграл 1-го типа и согласуются друг с другом: ${\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi }$ Тождества Якоби В частности Тождества Якоби определяется следующей формулой: ${\displaystyle \vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}(q)^{4}=\vartheta _{01}(q)^{4}+\vartheta _{10}(q)^{4}}$ Эта формула представляет собой кривой Ферма 4 степени. Тождества Якоби также возникает как комбинация 3 квадратичных соотношений: ${\displaystyle 2\,\vartheta _{00}(q^{2})^{2}=\vartheta _{00}(q)^{2}+\vartheta _{01}(q)^{2}}$ ${\displaystyle 2\,\vartheta _{10}(q^{2})^{2}=\vartheta _{00}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}$ ${\displaystyle \vartheta _{10}(q)^{2}=2\,\vartheta _{10}(q^{2})\,\vartheta _{00}(q^{2})}$ Объединение этих 3 формул даёт следующую формулу: ${\displaystyle \vartheta _{10}(q)^{4}=\vartheta _{00}(q)^{4}-\vartheta _{01}(q)^{4}}$ Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями ${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1}$ и ${\displaystyle \tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}}$. Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к ${\displaystyle \tau }$ имеет тот же эффект, что и добавление ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ к ${\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}$ Тогда ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}$ Тета-функции в терминах нома Вместо выражения тета-функций в терминах ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}$ Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах Представления произведений Тройное произведение Якоби (специальный случай тождеств Макдональда[англ.]) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с ${\displaystyle |q|<1}$ и ${\displaystyle w\neq 0}$ мы имеем ${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$ Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта An Introduction to the Theory of Numbers[англ.]. Если мы выразим тета-функцию в терминах томов ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau }}$ и ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z}}$, то ${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$ Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида ${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}$ В терминах w и q: ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}$ где ${\displaystyle (~~;~~)_{\infty }}$ является q-символом Похгаммера, а ${\displaystyle \theta (~~;~~)}$ является q-тета-функцией[англ.]. Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид ${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},}$ что можно также переписать в виде ${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}$ Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$ Интегральные представления Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления: ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$ Явные значения Лемнискатические значения См. статью Джинхи Йи (2004)[2]. ${\displaystyle \vartheta _{00}(e^{-\pi x})=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(-\pi xn^{2})}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}(e^{-\pi x})=\theta _{4}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\exp(-\pi xn^{2})}$ ${\displaystyle \vartheta _{10}(e^{-\pi x})=\theta _{2}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp {\bigl [}-\pi x(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}{\bigr ]}}$ В следующей таблице приведены лемнискатические значения функций (x) и (x): x (x) (x) ${\displaystyle {\text{e}}^{-\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-1/4}={\sqrt {G}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}=2^{1/4}{\sqrt {G}}}$ ${\displaystyle {\text{e}}^{-2\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-3/4}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-3/4}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}$ ${\displaystyle {\text{e}}^{-3\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-3/2}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-1/4}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}}$ ${\displaystyle {\text{e}}^{-4\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/4}({\sqrt[{4}]{2}}-1)}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/4}({\sqrt[{4}]{2}}+1)}$ ${\displaystyle {\text{e}}^{-5\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/4}5^{-1/2}({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}\Phi ^{-1/2}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}5^{-1/2}\Phi ^{3/2}}$ Дополнительные значения для (x): ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-6\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-2}3^{-3/8}{\sqrt {\cot({\tfrac {1}{24}}\pi )}}({\sqrt[{4}]{3}}+1)({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-7\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/8}7^{-7/16}{\sqrt[{4}]{3+{\sqrt {7}}}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}+{\sqrt[{4}]{28}}}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-8\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-2}({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+2^{7/8})}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-9\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}3^{-1}({\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}+2}}+1)}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-10\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}5^{-1/2}\Phi ^{3/2}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}\Phi ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-11\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/4}11^{-5/8}{\sqrt {{\sqrt {11}}+3}}\,{\bigl \{}4+{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}\tanh {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arcosh} ({\tfrac {7}{4}})+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {4}{9}}{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{6}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {1}{27}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-12\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-2}3^{-3/8}{\sqrt {\cot({\tfrac {1}{24}}\pi )}}({\sqrt[{4}]{3}}+1)({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}({\sqrt[{4}]{3}}-1)^{4}{\bigr ]}{\bigr \}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-13\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}13^{-1/2}{\sqrt {5{\sqrt {13}}+18}}\,{\bigl \{}{\tfrac {1}{6}}(5{\sqrt {39}}-17{\sqrt {3}})\coth {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {6}{11}}{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcosh} {\bigl (}{\tfrac {4}{13}}{\sqrt {13}}{\bigr )}{\bigr ]}-{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {13}}-3){\bigr \}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-14\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/8}7^{-7/16}{\sqrt[{4}]{3+{\sqrt {7}}}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}+{\sqrt[{4}]{28}}}}\,\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl [}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{7}})^{12}{\bigr ]}{\bigr \}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-15\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}3^{-1/2}5^{-1/2}\Phi ^{3/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {1+\Phi ^{-8}+\Phi ^{-16}}}+2+\Phi ^{-8}}}+{\sqrt {1-\Phi ^{-8}}}{\bigr )}^{1/2}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-16\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}{\bigl [}2^{-9/4}({\sqrt[{4}]{2}}+1)+2^{-23/16}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {2}}+1}}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-17\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-3/2}17^{-1/2}{\bigl [}({\sqrt[{4}]{17}}+1){\sqrt {{\sqrt {17}}-1}}+{\sqrt[{8}]{272}}{\sqrt {{\sqrt {17}}+3}}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}({\text{e}}^{-18\pi })={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}3^{-1}({\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}+2}}+1)\cos {\bigl \langle }{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl \{}{\bigl [}2{\sqrt {3}}-3-{\sqrt {6}}(2-{\sqrt {3}})^{5/6}+{\sqrt {2}}(2-{\sqrt {3}})^{7/6}{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}{\bigr \rangle }}$ И с греческой буквой ${\displaystyle \Phi =({\sqrt {5}}+1)/2}$ показано Золотое сечение. Символом ${\displaystyle G}$ обозначена постоянная Гаусса, которая представляет собой отношение лемнискатической константы к числу . Только что показанные значения были исследованы южнокорейским математиком Джинхи Йи из Пусанского национального университета ( ). Их результаты впоследствии были опубликованы в Журнале математического анализа и приложений. Кроме того, применяются следующие значения: ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-1/4}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-1/4}3^{1/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}}$ Эти 2 значения можно определить непосредственно с помощью формулы суммы Пуассона: ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-\pi /y)]={\sqrt {y}}\,\vartheta _{00}[\exp(-\pi y)]}$ Эквиангармонические значения Функция имеет следующие эквиангармонические значения функции: ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\pi ^{-1/2}2^{-1/6}3^{-1/8}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )]=\pi ^{-1/2}2^{-1/6}3^{-1/8}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]=\pi ^{-1/2}2^{-1/6}3^{-7/8}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}({\sqrt[{3}]{2}}+1)}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )]=\pi ^{-1/2}2^{-7/6}3^{-1/8}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}[1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}]}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )]=\pi ^{-1/2}2^{-1/6}3^{-9/8}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)}$ Некоторые эквиангармонические значения тета-функции были исследованы, в частности, математиками Брюсом Карлом Берндтом и Орсом Ребаком. Значения тета над факториалами восьмых Значения функции вида : ${\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\beta ({\tfrac {3}{8}})}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/4}3^{-1/2}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\beta ({\tfrac {3}{8}})}}\,{\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\beta ({\tfrac {3}{8}})}}\,{\sqrt {{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/4}5^{-1/2}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\beta ({\tfrac {3}{8}})}}\,{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\beta ({\tfrac {3}{8}})}}\,{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]-{\tfrac {1}{3}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi ){\bigr \}}}$ Некоторые тождества с рядами Следующие 2 тождества для рядов были доказаны Иштваном Мезо[3]: ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}$ Эти отношения выполняются для всех 0 < q < 1. Фиксируя значения q, мы получим следующие свободные от параметров суммы ${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}\end{aligned}}}$ Нули тета-функций Якоби Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом: ${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}$, где m, n являются произвольными целыми. Связь с дзета-функцией Римана Соотношение ${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}$ использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}$ и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 s. Соответствующий интеграл для z 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица. Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых 4 тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку ${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}$, где вторая производная берётся по z, а константа c определена так, что ряд Лорана функции (z) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член. Связь сq-гамма функцией Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с q-гамма-функцией Джексона[англ.] соотношением[4]. ${\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}$ Связь с эта-функцией Дедекинда Пусть ${\displaystyle \eta (\tau )}$ — эта-функция Дедекинда, а аргумент тета-функции представлен как ном[англ.] ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau }}$. Тогда ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}$ и ${\displaystyle \theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\tau ).}$ См. также статью о модулярных функциях Вебера. Эллиптический модуль J-инвариант равен ${\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$, дополнительный эллиптический модуль равен ${\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$ Решение теплового уравнения Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями[5]. Принимая ${\displaystyle z=x}$ вещественным, а ${\displaystyle \tau =it}$ с вещественным и положительным t, мы можем записать ${\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)}$, что решает уравнение теплопроводности ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).}$ Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по x, и при ${\displaystyle t\to 0}$ оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}$. Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в ${\displaystyle t=0}$ с тета-функцией. Связь с группой Гейзенберга Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении[англ.] группы Гейзенберга. Обобщения Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна ${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}$ с суммой по решётке целых чисел n. Эта тета-функция является модулярной формой с весом ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}$ (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}$ числа ${\displaystyle R_{F}(k)}$ называются числами представления формы. Тета-функция Рамануджана Риманова тета-функция Пусть ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}$ является множеством симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена. n называется верхним полупространством Зигеля[англ.] и является многомерным аналогом верхней полуплоскости. n-Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Sp(2n,). Для ${\displaystyle n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$. Роль n-мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет ${\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.}$ Тогда, если дано ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}$, тета-функция Римана определяется как ${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right){\bigg )}.}$ Здесь ${\displaystyle z\in \mathbb {C} _{n}}$ является n-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$, где ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является верхней полуплоскостью. Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}$. Функциональное уравнение функции ${\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )}$ которое выполняется для всех векторов ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}}$ и для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$}} и ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}$. Ряд Пуанкаре Ряд Пуанкаре[англ.] обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам. Уравнения пятой степени Решение формы Бринга-Джеррарда Согласно Теореме Абеля-Руффини общее уравнение 5 степени не может быть решено в элементарной радикальной форме. Но общее решение вполне возможно с помощью эллиптических функций. С тета-функцией общий случай Уравнения 5 степени также может быть решен как функция эллиптического «номена q» из эллиптического модуля, который всегда «элементарен» в зависимости от коэффициентов. Для следующего уравнения пятой степени в форме Бринга-Джеррарда общее решение может быть представлено в упрощенной форме тета-функцией : ${\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}$ Для всех реальных значений ${\displaystyle c}$ имеет показанную сумму функции пятой степени и идентичную функцию отображения для ${\displaystyle x}$ в зависимости от ${\displaystyle c}$ точно реальное решение. И это фактическое решение ${\displaystyle x}$ может для всех действительных значений ${\displaystyle c}$ может быть вызвано точно по следующему алгоритму: Mtodo de resolucin de las ecuaciones qunticas a travs de la funcin theta Уравнение Бринга – Джеррарда: ${\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}$ Значение эллиптической функции «Номен q»: ${\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}}$ Актуальное решение для ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x={\frac {{\bigl [}\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}{\bigr ]}{\sqrt {\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}-2\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})\,\vartheta _{00}(Q^{5})}}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}}$ 3 примера расчёта Ниже в качестве примеров рассматриваются 3 уравнения, которые можно решить с помощью тета-функции Якоби, но вообще нельзя решить с помощью элементарных корневых выражений: ${\displaystyle x^{5}+5\,x={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,{\sqrt[{4}]{7}}}}}$ ${\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl (}c={\frac {1}{4\,{\sqrt {3}}\,{\sqrt[{4}]{7}}}}{\bigr )}=q{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}=\exp {\bigl [}-\pi \,K{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\sqrt {7}}{\bigr )}/K{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle Q\approx 0.0514850134086884874259334407034142264}$ ${\displaystyle x={\frac {{\bigl \{}\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})^{1/5}]^{2}-5\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})^{5}]^{2}{\bigr \}}{\sqrt {\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})^{1/5}]^{2}+5\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})^{5}]^{2}-4\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})]^{2}-2\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})^{1/5}]\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})^{5}]}}}{4\,\vartheta _{10}[q({\tfrac {3}{4}})]\,\vartheta _{01}[q({\tfrac {3}{4}})]\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {3}{4}})]}}}$ ${\displaystyle x\approx 0.07098926054715586207235133755965679}$ Тот же образец процедуры применяется в следующем уравнении: ${\displaystyle x^{5}+5\,x={\frac {17}{2\,{\sqrt {7}}\,{\sqrt[{4}]{15}}}}}$ ${\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl (}c={\frac {17}{8\,{\sqrt {7}}\,{\sqrt[{4}]{15}}}}{\bigr )}=q{\bigl (}{\frac {7}{8}}{\bigr )}=\exp {\bigl [}-\pi \,K{\bigl (}{\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}{\bigr )}/K{\bigl (}{\frac {7}{8}}{\bigr )}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle Q\approx 0.0897074766759280367958684244396699245}$ ${\displaystyle x={\frac {{\bigl \{}\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})^{1/5}]^{2}-5\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})^{5}]^{2}{\bigr \}}{\sqrt {\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})^{1/5}]^{2}+5\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})^{5}]^{2}-4\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})]^{2}-2\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})^{1/5}]\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})^{5}]}}}{4\,\vartheta _{10}[q({\tfrac {7}{8}})]\,\vartheta _{01}[q({\tfrac {7}{8}})]\,\vartheta _{00}[q({\tfrac {7}{8}})]}}}$ ${\displaystyle x\approx 0.32576169530959133227592078784586937}$ Это 3 пример: ${\displaystyle x^{5}+5\,x=4}$ ${\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl (}c=1{\bigr )}=q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle Q\approx 0.18520287008030014142515182307361246060360377625}$ ${\displaystyle x={\frac {\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}^{2}-5\,\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}^{2}}{4\,\vartheta _{10}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}\,\vartheta _{01}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}\,\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}}}\times }$ ${\displaystyle \times {\sqrt {\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}^{2}+5\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}^{2}-4\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}^{2}-2\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}\,\vartheta _{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}}}}$ ${\displaystyle x\approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913}$ Примечания Тюрин, 2003. Yi, 2004, с. 381–400. Mez, 2013, с. 2401–2410. Mez, 2012, с. 692–704. Ohyama, 1995, с. 431–450. Литература Yousuke Ohyama. Differential relations of theta functions // Osaka Journal of Mathematics. — 1995. — Т. 32, вып. 2. — С. 431–450. — ISSN 0030-6126. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. sec. 16.27ff. // Handbook of Mathematical Functions. — New York: Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970. — (Физико-математическая библиотека инженера). — ISBN 0-8218-4532-2. Hershel M. Farkas, Irwin Kra. ch. 6 // Riemann Surfaces. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90465-4.. (обсуждение тета-функции Римана) Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 4th. — Oxford: Clarendon Press, 1959. David Mumford. Tata Lectures on Theta I. — Boston: Birkhauser, 1983. — ISBN 3-7643-3109-7. James Pierpont. Functions of a Complex Variable. — New York: Dover Publications, 1959. Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. — Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. — ISBN 0-683-07196-3. William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank W. L. Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. — Cambridge University Press, 2010. — ISBN 978-0521192255,. Whittaker E. T., Watson G. N. ch. 21 // A Course in Modern Analysis. — 4th. — Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (история -функций Якоби) Jinhee Yi. Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2004. — Т. 292. — С. 381–400. — doi:10.1016/j.jmaa.2003.12.009. Istvn Mez. A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function // Journal of Number Theory. — 2012. — Т. 133, вып. 2. — С. 692–704. — doi:10.1016/j.jnt.2012.08.025. Istvn Mez. Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q-trigonometric functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2013. — Т. 141, вып. 7. — С. 2401–2410. — doi:10.1090/s0002-9939-2013-11576-5. Литература для дальнейшего чтения Тета-функции, Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия / Виноградов И. В.. — Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — (Энциклопедии, словари, справочники). Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П. Алгебраические уравнения и тета-функции. — М.: МК НМУ, 1994. Hershel M. Farkas. Theta functions in complex analysis and number theory // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 17. — С. 57–87. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-387-78509-7. Bruno Schoeneberg. IX. Theta series // Elliptic modular functions. — Springer-Verlag, 1974. — Т. 203. — С. 203–226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X. Тюрин А. Н. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции. — М., 2003. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (See chapter XXI for the history of Jacobi's functions) Jonathan Borwein und Peter Borwein: and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97. Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration. Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987. Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution. Kapodistrias-Universitt Athen, 2018, Arxiv. Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to . Quart. J. Pure. Appl. Math. Volumen 45, 350–372, 1913–1914. Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015. Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Band 292, Nr. 2, 2004, pages 381–400. G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885. C. Runge: ber die auflsbaren Gleichungen von der Form. In: Acta Math. Volume 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200. F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la rsolution de l’quation du cinquime degr Comptes rendus. N. 11. Mars. 1858. doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org). Ссылки Moiseev Igor. Elliptic functions for Matlab and Octave  (неопр.).