Ru.Wikipedia.Org - ISO 31-11

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

ISO 31-11
Материал из https://ru.wikipedia.org

ISO 31-11:1992 — часть международного стандарта ISO 31, которая определяет «математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии» (англ. mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандарт ISO 80000-2^[1] (последняя редакция^[2]: ISO 80000-2:2019, 2nd edition).

Содержание

Математические символы

Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта^[3].

Математическая логика

Обозна- чение	Употребление	Название	Смысл и пояснения	Комментарии
	p q	конъюнкция	p и q
	p q	дизъюнкция	p или q (возможно, оба)
¬	¬ p	отрицание	неверно p; не-p
	p q	импликация	если p, то q; из p следует q	Иногда записывается в виде p q или q p.
	xA p(x) (xA) p(x)	квантор общности	для каждого x из множества A верно утверждение p(x)	Для краткости уточнение "A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
	xA p(x) (xA) p(x)	квантор существования	существует x из множества A, для которого утверждение p(x) верно	Для краткости уточнение "A" часто опускают, если оно ясно из контекста. Вариант ! означает, что такое x единственно во множестве A.

Теория множеств

Обозна- чение	Употребление	Смысл и пояснения	Комментарии
	x A	x принадлежит A; x является элементом множества A
	x A	x не принадлежит A; x не является элементом множества A	Перечёркивающая линия может быть и вертикальной.
	A x	Множество A содержит элемент x	равносильно x A
	A x	Множество A не содержит элемента x	равносильно x A
{ }	{x₁, x₂, ..., x_n}	множество, образованное элементами x₁, x₂, ..., x_n	также {x_i i I}, где I обозначает множество индексов
{ }	{x A p(x)}	множество таких элементов A, для которых утверждение p(x) верно	Пример: {x x > 5} Для краткости уточнение "A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
card	card(A)	кардинальное число элементов множества A; мощность A
	A B	разность множеств A и B; A минус B	Множество элементов из A, которых нет в B. A B = { x x A x B } Не следует записывать в виде A B.
		пустое множество
		множество натуральных чисел, включая ноль	= {0, 1, 2, 3, ...} Если ноль исключён, надо пометить символ звёздочкой: ^* = {1, 2, 3, ...} Конечное подмножество: _k = {0, 1, 2, 3, ..., k 1}
		множество целых чисел	= {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...} Целые ненулевые обозначаются ^* = {0} = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3, ...}
		множество рациональных чисел	^* = {0}
		множество вещественных чисел	^* = {0}
		множество комплексных чисел	^* = {0}
[,]	[a,b]	замкнутый интервал в от a (включая) до b (включая)	[a,b] = {x a x b}
],] (,]	]a,b] (a,b]	полуоткрытый слева интервал в от a (исключая) до b (включая)	]a,b] = {x a < x b}
[,[ [,)	[a,b[ [a,b)	полуоткрытый справа интервал в от a (включая) до b (исключая)	[a,b[ = {x a x < b}
],[ (,)	]a,b[ (a,b)	открытый интервал в от a (исключая) до b (исключая)	]a,b[ = {x a < x < b}
	B A	B содержится в A; B есть подмножество A	Каждый элемент B принадлежит A. Вариант символа: .
	B A	B содержится в A как собственное подмножество	Каждый элемент B принадлежит A, но B не равен A. Если обозначает "содержится", то должно использоваться в смысле "содержится как собственное подмножество".
	C A	C не содержится в A; C не является подмножеством A	Вариант: C A
	A B	A содержит B (как подмножество)	A содержит все элементы B. Вариант: . B A равносильно A B.
	A B.	A содержит B как собственное подмножество.	A содержит все элементы B, но A не равно B. Если используется символ , то должен использоваться в смысле "содержит как собственное подмножество".
	A C	A не содержит C (как подмножество)	Вариант: . A C равносильно C A.
	A B	объединение A и B	Множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо обоим A и B. A B = { x x A x B }
	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$	объединение семейства множеств	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ , множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из A₁, ..., A_n. Варианты: $\bigcup {}_{i=1}^{n}$ и $\bigcup _{i\in I}$ , $\bigcup {}_{i\in I}$ , где I — множество индексов.
	A B	пересечение A и B	Множество элементов, принадлежащих как A, так и B. A B = { x x A x B }
	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$	пересечение семейства множеств	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}$ , множество элементов, принадлежащих каждому
	_AB	разность A и B	Множество тех элементов A, которых нет в B. Символ A часто опускается, если он понятен по контексту. Вариант: _AB = A B.
(,)	(a, b)	упорядоченная пара a, b	(a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Вариант записи: a, b.
(,...,)		упорядоченный n-кортеж	Вариант записи: a₁, a₂, ..., a_n (угловые скобки).
	A B	декартово произведение множеств A и B	Множество упорядоченных пар (a, b), где a A и b B. A B = { (a, b) a A b B } A A A обозначается Aⁿ, где n — число сомножителей.
	_A	множество пар (a, a) A A, где a A; то есть диагональ множества A A	_A = { (a, a) a A } Вариант записи: id_A.

Прочие символы

Обозначение		Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
Юникод	TeX	Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
	${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$	a b	a равно b по определению^[3]	Вариант записи: a := b
=	$=$	a = b	a равно b	Вариант: символ подчёркивает, что это равенство есть тождество.
	$\neq$	a b	a не равно b	Вариант записи: $a\not \equiv b$ указывает, что a не тождественно равно b.
	${\stackrel {\wedge }{=}}$	a b	a соответствует b	Пример: на карте масштаба 1:10⁶ 1 см 10 км.
	$\approx$	a b	a приблизительно равно b	Символ означает "асимптотически равно".
	${\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}$	a b a b	a пропорционально b
<	$<$	a < b	a меньше, чем b
>	$>$	a > b	a больше, чем b
	$\leqslant$	a b	a меньше или равно b	Вариант: , .
	$\geqslant$	a b	a больше или равно b	Вариант: , .
	$\ll$	a b	a намного меньше, чем b
	$\gg$	a b	a намного больше, чем b
	$\infty$		бесконечность
() [] {}	${\begin{matrix}()\\{[]}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}$	${\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}$	$ac+bc$ , скобки $ac+bc$ , квадратные скобки $ac+bc$ , фигурные скобки $ac+bc$ , угловые скобки	В алгебре приоритет разных скобок $(),[],\{\},\langle \rangle$ не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления $(),[],\{\},\langle \rangle$ .
	$\\|$	AB CD	прямая AB параллельна прямой CD
	$\perp$	$\mathrm {AB\perp CD}$	прямая AB перпендикулярна прямой CD
$\mid$	$a\mid b$	a — делитель b	или, что то же, b кратно a	$\mid$

Операции

Обозначение	Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
+	a + b	a плюс b
	a b	a минус b
±	a ± b	a плюс-минус b
	a b	a минус-плюс b	(a ± b) = a b
...	...	...	...

Функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
$f:D\rightarrow C$	функция f определена на D и принимает значения в C	Используется для явного указания областей определения и значения для функции.
$f\left(S\right)$	$\left\{f\left(x\right)\mid x\in S\right\}$	Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножества S области определения.

Показательная и логарифмическая функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
e	основание натуральных логарифмов	e = 2,71828...
e^x	показательная функция с основанием e
$\log _{a}x$	логарифм с основанием $a$
lb x	двоичный логарифм (с основанием 2)	lb x = $\log _{2}x$
ln x	натуральный логарифм (с основанием e)	ln x = $\log _{e}x$
lg x	десятичный логарифм (с основанием 10)	lg x = $\log _{10}x$
...	...	...

Круговые и гиперболические функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
$\pi$	отношение длины окружности к её диаметру	$\pi$ = 3,14159...
...	...	...

Комплексные числа

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
i j	мнимая единица; $i^{2}=-1$	в электротехнике вместо $i$ используется символ $j$ .
Re z	вещественная часть z	z = x + iy, где x = Re z и y = Im z
Im z	мнимая часть z	z = x + iy, где x = Re z и y = Im z
z	абсолютная величина z; модуль z	Иногда обозначается mod z. Для $z=re^{i\varphi }$ , z = r.
Arg z	аргумент z; фаза z	Для $z=re^{i\varphi }$ , Arg z = .
z*	(комплексно-) сопряжённое к z число	Вариант: чёрточка над z вместо звёздочки
sgn z	sgn z	sgn z = z / z = exp(i arg z) для z 0, sgn 0 = 0

Матрицы

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
A	матрица A	...
...	...	...

Системы координат

Координаты	Радиус-вектор точки	Название системы координат	Комментарии
x, y, z	$[xyz]=[xyz];$	прямоугольная система координат (декартова)	x₁, x₂, x₃ для координат и e₁, e₂, e₃ для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай. e_x, e_y, e_z образуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаются i, j, k.
, , z	$[x,y,z]=[\rho \cos(\phi ),\rho \sin(\phi ),z]$	цилиндрическая система координат	e(), e(), e_z образуют ортогональный (правый) базис. Если z= 0 (двумерный случай), то и — полярные координаты.
r, ,	$[x,y,z]=r[\sin(\theta )\cos(\phi ),\sin(\theta )\sin(\phi ),\cos(\theta )]$	сферическая система координат	e_r(,), e(,),e() образуют ортогональный (правый) базис.

Векторы и тензоры

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
a ${\vec {a}}$	вектор a	векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, а также стрелкой над буквой^[4]. Любой вектор a можно умножить на скаляр k, получая вектор ka.
...	...	...

Специальные функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
$J_{i}(x)$	цилиндрические функции Бесселя (первого рода)	...
...	...	...

Стандарт ISO 80000-2

Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём добавились новые разделы (всего их стало 19):

Стандартные числовые множества и интервалы (Standard number sets and intervals).
Элементарная геометрия (Elementary geometry).
Комбинаторика (Combinatorics).
Преобразования (Transforms).

Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» (Quantities and units — Part 2: Mathematics).

См. также

Примечания

ISO 80000-2.
ISO 80000-2:2019 Архивная копия от 13 апреля 2021 на Wayback Machine.
¹ ² Thompson, Ambler; Taylor, Barry M. Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing (англ.). — Gaithersburg, MD, USA: Национальный институт стандартов и технологий, 2008. Архивировано 3 июня 2016 года.
Другие встречающиеся варианты записи (например, чёрточка над буквой или готический шрифт) в стандарте не упоминаются.

Ссылки

ISO 80000-2:2009 (неопр.). Международная организация по стандартизации. Дата обращения: 12 августа 2019.