Меню Главная Случайная статья Настройки Распределение хи-квадрат Материал из https://ru.wikipedia.org Распределение ${\displaystyle \chi ^{2}}$ (хи-квадрат) с ${\displaystyle k}$ степенями свободы — распределение суммы квадратов ${\displaystyle k}$ независимых стандартных нормальных случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Свойства распределения хи-квадрат 3 Связь с другими распределениями 4 Вариации и обобщение 5 Квантили 6 История 7 Приложения 8 Таблица значений 2 и p-значений 9 См. также 10 Примечания Определение Пусть ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: ${\displaystyle z_{i}\sim N(0,1)}$. Тогда случайная величина ${\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle k}$ степенями свободы, то есть ${\displaystyle x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)}$, или, если записать по-другому: ${\displaystyle x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)}$. Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид: ${\displaystyle f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({k \over 2},{2}\right)={\frac {(1/2)^{k \over 2}}{\Gamma \!\left({k \over 2}\right)}}\,x^{{k \over 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}}$, где ${\displaystyle \Gamma \!\left({k/2},2\right)}$ означает гамма-распределение, а ${\displaystyle \Gamma \!\left({k/2}\right)}$ — гамма-функцию. Функция распределения имеет следующий вид: ${\displaystyle F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \over 2}\right)}}}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle \gamma }$ обозначают соответственно полную и нижнюю неполную гамма-функции. Свойства распределения хи-квадрат Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ независимы, и ${\displaystyle Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$, а ${\displaystyle Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$, то ${\displaystyle Y_{1}+Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$. Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(k)}$, то ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=k}$, ${\displaystyle \mathrm {D} [Y]=2k}$. В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(k)}$ может быть приближено нормальным ${\displaystyle Y\approx N(k,2k)}$. Более точно ${\displaystyle {\frac {Y-k}{\sqrt {2k}}}\to N(0,1)}$ по распределению при ${\displaystyle k\to \infty }$. Связь с другими распределениями Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ независимые нормальные случайные величины, то есть: ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,k;\;\mu }$ известно, то случайная величина ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$ имеет распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$. Если ${\displaystyle k=2}$, то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением: ${\displaystyle \chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)}$. Если ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(2k)}$, тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$ — распределение Эрланга. Если ${\displaystyle Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$, то случайная величина ${\displaystyle F={\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}}$ имеет распределение Фишера со степенями свободы ${\displaystyle (k_{1},k_{2})}$. ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$ (нецентральное хи-квадрат распределение с параметром нецентральности ${\displaystyle \lambda =0}$) Если ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )\,}$ и ${\displaystyle c>0\,}$, тогда ${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$. (гамма-распределение) Если ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$, тогда ${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$ (хи распределение) Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$ (распределение Рэлея), тогда ${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,}$ Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$ (распределение Максвелла), тогда ${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,}$ Если ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,}$ и ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,}$ независимы, тогда ${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$ — (бета-распределение) Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$ — (равномерное распределение), тогда ${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,}$ ${\displaystyle \chi ^{2}(6)\,}$ — преобразование распределения Лапласа Если ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$, тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,}$ хи-квадрат распределение — преобразование распределения Парето t-распределение — преобразование распределения хи-квадрат t-распределение может быть получено из распределения хи-квадрат и нормального распределения Если ${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ и ${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$ — независимы, тогда ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$. Если ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ не являются независимыми, тогда ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ не обязано быть распределено по закону хи-квадрат. Вариации и обобщение Дальнейшим обобщением распределения хи-квадрат является так называемое нецентральное распределение хи-квадрат[англ.], возникающее в некоторых задачах статистики. Квантили Квантиль — это число (аргумент), на котором функция распределения равна заданной, требуемой вероятности. Грубо говоря, квантиль — это результат обращения функции распределения, но есть тонкости с разрывными функциями распределения. История Критерий ${\displaystyle \chi ^{2}}$ был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году[1]. Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 1029. Общее обсуждение критерия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена[2]. Приложения Распределение хи-квадрат имеет многочисленные приложения при статистических выводах, например при использовании критерия хи-квадрат и при оценке дисперсий. Оно используется в проблеме оценивания среднего нормально распределённой популяции и проблеме оценивания наклона линии регрессии благодаря его роли в распределении Стьюдента. Оно используется в дисперсионном анализе. Далее приведены примеры ситуаций, в которых распределение хи-квадрат возникает из нормальной выборки: если ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ — независимые и одинаково распределенные по закону ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ случайные величины, тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$, где ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$ В таблице показаны некоторые статистики, основанные на ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,...,k}$ независимых случайных величин, распределения которых связаны с распределением хи-квадрат: Название Статистика распределение хи-квадрат ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$ нецентральное распределение хи-квадрат ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$ распределение хи ${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$ нецентральное распределение хи ${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$ Таблица значений2и Для любого числа В таблице даны Степени свободы ( Значение ${\displaystyle \chi ^{2}}$[3] 1 0,004 0,02 0,06 0,15 0,46 1,07 1,64 2,71 3,84 6,63 10,83 2 0,10 0,21 0,45 0,71 1,39 2,41 3,22 4,61 5,99 9,21 13,82 3 0,35 0,58 1,01 1,42 2,37 3,66 4,64 6,25 7,81 11,34 16,27 4 0,71 1,06 1,65 2,20 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 13,28 18,47 5 1,14 1,61 2,34 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 15,09 20,52 6 1,63 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 16,81 22,46 7 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 18,48 24,32 8 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 20,09 26,12 9 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 21,67 27,88 10 3,94 4,87 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 23,21 29,59 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,01 0,001 Эти значения могут быть вычислены через квантиль (обратную функцию распределения) распределения хи-квадрат[4]. Например, квантиль ${\displaystyle \chi ^{2}}$ для В таблице дано округление до сотых; более точные таблицы для большего количества степеней свободы см., например, здесь[5]. См. также Критерий согласия Пирсона (критерий ${\displaystyle \chi ^{2}}$) Примечания Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling (англ.) // Philosophical Magazine, Series 5. — Vol. 50, no. 302. — P. 157—175. — doi:10.1080/14786440009463897. Cochran W. G. The ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Test of Goodness of Fit (англ.) // Annals Math. Stat. — 1952. — Vol. 23, no. 3. — P. 315—345. — . Архивировано 10 апреля 2020 года. Chi-Squared Test Архивная копия от 18 ноября 2013 на Wayback Machine Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. Этот источник, в свою очередь, ссылается на: R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Два значения были исправлены, 7,82 на 7,81 и 4,60 на 4,61. R Tutorial: Chi-squared Distribution  (неопр.). Дата обращения: 19 ноября 2019. Архивировано 16 февраля 2021 года. StatSoft: Таблицы распределений — Хи-квадрат распределение  (неопр.). Дата обращения: 29 января 2020. Архивировано 26 января 2020 года.