Меню Главная Случайная статья Настройки Алгебраическая кривая Материал из https://ru.wikipedia.org Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это, в простейшем случае, множество нулей многочлена двух переменных. Степенью, или порядком, алгебраической кривой называется степень этого многочлена. Например, единичная окружность, задающаяся уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, является алгебраической кривой второй степени, поскольку совпадает с множеством нулей многочлена ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1}$. Плоские алгебраические кривые с первой по восьмую степень соответственно называют прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками и октиками. В алгебраической геометрии также рассматривают не только вещественные нули многочленов, но и комплексные. Более того, многочлены могут рассматриваться над произвольными полями. Так, обобщенная плоская аффинная алгебраическая кривая над полем ${\displaystyle k}$ определяется как множество тех пар из ${\displaystyle K\times K}$, где ${\displaystyle K}$ — алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$, которые являются корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в ${\displaystyle k}$. Такие пары называются точками этой кривой. Те точки кривой, каждая координата которых лежит в ${\displaystyle k}$, называются ${\displaystyle k}$-точками, а множество ${\displaystyle k}$-точек называется ${\displaystyle k}$-частью кривой. Например, точка ${\displaystyle (2,{\sqrt {-3}})}$ принадлежит рассмотренной выше единичной окружности, однако не принадлежит её вещественной ${\displaystyle \mathbb {R} }$-части. Кроме того, многочлен ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1}$ задаёт алгебраическую кривую, вещественная часть которой пуста. Тем не менее, сама кривая не является пустой. Также в алгебраической геометрии рассматривают более общие алгебраические кривые, которые содержатся не обязательно в двумерных, а в пространствах с большим числом измерений, и также в проективных пространствах. Оказывается, многие свойства алгебраической кривой не зависят от выбора конкретного вложения в некоторое пространство, что приводит к следующему общему определению алгебраической кривой. Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности 1. Иными словами, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие, каждое алгебраическое подмногообразие которого является одноточечным. Содержание 1 Примеры алгебраических кривых 1.1 Рациональные кривые 1.2 Эллиптические кривые 2 Связь с полями функций 3 Комплексные кривые как действительные поверхности 4 Классификация особенностей 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Примеры алгебраических кривых Рациональные кривые Рациональная кривая, также известная как уникурсальная кривая, — это кривая, бирационально эквивалентная аффинной прямой (или проективной прямой); другими словами, кривая, допускающая рациональную параметризацию. Более конкретно, рациональная кривая в n-мерном пространстве может быть параметризована (за исключением некоторого числа изолированных «особых точек») при помощи Любое коническое сечение над полем рациональных чисел, содержащее хотя бы одну рациональную точку, является рациональной кривой[1]. Её можно параметризовать, проведя через рациональную точку прямую с произвольным угловым коэффициентом t и сопоставив данному t вторую точку пересечения прямой и коники (их не может быть больше двух). Например, рассмотрим эллипс ${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}},}$ ${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,}$ задающие рациональную параметризацию эллипса. В таком виде представимы все точки эллипса, кроме точки (1, 0); можно сопоставить ей Эту рациональную параметризацию можно рассматривать как параметризацию «эллипса в проективном пространстве», перейдя к однородным координатам, то есть заменив ${\displaystyle X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.}$ Эллиптические кривые Рациональные кривые (над алгебраически замкнутым полем) — это в точности алгебраические кривые рода 0 (см. ниже), в этой терминологии эллиптические кривые — это кривые рода 1 с рациональной точкой. Любая такая кривая может быть представлена как кубика без особенностей. Эллиптическая кривая несёт на себе структуру абелевой группы. Сумма трёх точек на кубике равна нулю тогда и только тогда, когда эти точки коллинеарны. Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку. В противном случае пересечение может быть рациональной кривой четвёртого порядка с особенностями, или быть разложимым на кривые меньшего порядка (кубика и прямая, две коники, коника и две прямые или четыре прямые). Связь с полями функций Изучение алгебраических кривых может быть сведено к изучению неприводимых кривых (то есть не раскладывающихся в объединение двух меньших кривых). Каждой такой кривой можно сопоставить поле рациональных функций на ней; оказывается, что кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Это значит, что категория алгебраических кривых и рациональных отображений двойственна категории одномерных полей алгебраических функций, то есть полей, являющихся алгебраическими расширениями поля ${\displaystyle k(x)}$. Комплексные кривые как действительные поверхности Комплексная алгебраическая кривая, вложенная в аффинное или проективное пространство, имеет топологическую размерность 2, другими словами, является поверхностью. В частности, комплексная алгебраическая кривая без особенностей является двумерным ориентируемым многообразием. Топологический род этой поверхности совпадает с родом алгебраической кривой (который можно вычислить алгебраическими способами). Если проекция кривой без особенностей на плоскость является алгебраической кривой степени d с простейшими особенностями (обыкновенными двойными точками), то исходная кривая имеет род (d 1)(d 2)/2 k, где k — число этих особенностей. Изучение компактных римановых поверхностей состоит фактически в изучении комплексных алгебраических кривых без особенностей, рассматриваемых как поверхности с дополнительной аналитической структурой. Более точно, следующие категории эквивалентны: Категория проективных алгебраических кривых без особенностей (с рациональными отображениями в качестве морфизмов). Категория компактных римановых поверхностей и голоморфных функций. Классификация особенностей Особые точки включают в себя несколько типов точек, в которых кривая «пересекает сама себя», а также различные типы точек возврата. Например, на рисунке показана кривая x3 y2 = 0 с точкой возврата в начале координат. Особые точки можно классифицировать по их инвариантам. Например, особую точку с дельта-инвариантом можно интуитивно описать как точку, в которой встречаются сразу «самопересечений». В случае точки P на неприводимой кривой можно вычислить как длину модуля ${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}/{\mathcal {O}}_{P}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$ — локальное кольцо в точке P и ${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}}$ — его целое замыкание. Вычисление дельта-инвариантов всех особых точек позволяет вычислить род кривой по формуле: ${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$ Другие важные инварианты: кратность m особенности (максимальное целое число, такое что все производные задающего кривую многочлена, порядок которых не превосходит m, равны нулю) и число Милнора[англ.]. См. также Категория Алгебраические кривые Примечания Ю. И. Манин. Рациональные точки на алгебраических кривых. — Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964. Литература Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов. — М.: Мир, 1968. — 285 с. Джон Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М.: Мир, 1971. — 121 с. Egbert Brieskorn, Horst Knrrer. Plane Algebraic Curves. — Birkhuser, 1986. Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Surfaces. — Springer, 1980. W. Fulton. Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry. C.G. Gibson. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 1998. специальные плоские кривые [1] Архивная копия от 21 июня 2018 на Wayback Machine (рус.)