Меню Главная Случайная статья Настройки Область Зигеля Материал из https://ru.wikipedia.org Область Зигеля — неограниченная область ${\displaystyle D(V)}$ в комплексном аффинном пространстве, по сути аналог верхней полуплоскости в случае одного комплексного переменного, основанная на вещественном открытом выпуклом конусе ${\displaystyle V}$[1][2]. Эта область названа в честь немецкого математика К. Зигеля, впервые использовавшего некоторый её частный случай в 1939 году[1][2][3]. Верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля[1]. Наиболее простые области Зигеля называются областями Зигеля 1-го рода Термин «область Зигеля» появился при изучении автоморфных функций многих комплексных переменных. Это центральное понятие в теории однородных ограниченных областей[1]. В этой статье, так как по условию ${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.}$ Также в этой статье для областей Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ размерность линейного пространства вектор-функций ${\displaystyle c(t)}$, согласованных с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ и биголоморфных в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, равна удвоенной размерности этой формы Содержание 1 Область Зигеля первого рода 1.1 Определение области Зигеля первого рода 1.2 Отображение области Зигеля первого рода 1.3 Остов области Зигеля первого рода 1.4 Автоморфизм области Зигеля первого рода 1.5 Элемент объёма в области Зигеля первого рода 1.6 Связь с неприводимыми симметрическими областями 1.6.1 Область Зигеля первого рода типа I 1.6.2 Область Зигеля первого рода типа II 1.6.3 Область Зигеля первого рода типа III 1.6.4 Область Зигеля первого рода типа IV 1.6.5 Самосопряжённые однородные конусы 2 Область Зигеля второго рода 2.1 Простейший пример область Зигеля второго рода 2.2 Определение области Зигеля второго рода 2.3 Отображение области Зигеля второго рода 2.4 Остов области Зигеля второго рода 2.5 Линейное преобразование области Зигеля второго рода 2.6 Пример однородной области Зигеля второго рода 2.7 Элемент объёма в области Зигеля второго рода 3 Область Зигеля третьего рода 3.1 Полуэрмитова форма 3.2 Определение области Зигеля третьего рода 3.3 Согласованные вектор-функции 3.4 Параллельный перенос области Зигеля третьего рода 3.5 Квазилинейное преобразование области Зигеля третьего рода 3.6 Свойства квазилинейных преобразований области Зигеля третьего рода 3.7 Аналитическая однородность области Зигеля третьего рода 4 Примечания 4.1 Комментарии 4.2 Источники 5 Литература Область Зигеля первого рода Здесь будет определена область Зигеля 1-го рода Определение области Зигеля первого рода Обозначим через ${\displaystyle V}$ открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая. В этой статье используются только такие конусы[5]. Область Зигеля 1-го рода — неограниченное множество ${\displaystyle D(V)}$ точек ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z),}$ ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{n}(z)}$[1][5]: ${\displaystyle D(V)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z=x+iy,\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,y\in V\}.}$ При ${\displaystyle n=1}$ одномерный конус одномерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — это полупрямая, поэтому верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля 1-го рода[1]. Отображение области Зигеля первого рода Теорема 1. Произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области, которая принадлежит прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов[5]. Доказательство. По условию ${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.}$ Отсюда получаем, что произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ принадлежит следующей ${\displaystyle n}$-мерной области[5]: ${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,}$ А эта область, в свою очередь, биголоморфно эквивалентна прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов, которое ограничено[5]. Остов области Зигеля первого рода Остов области Зигеля 1-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle z=x}$[5]. Заметим, что вещественная размерность остова равна комплексной размерности ${\displaystyle n}$ всей области ${\displaystyle D(V)}$[7]. Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ переходит сам в себя при любом автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, голоморфном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$[8]. Доказательство. Обозначим через ${\displaystyle H_{\overline {D(V)}}}$ множество всех голоморфных в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функций, которые имеют максимум в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$. Тогда для любой голоморфной функции ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ найдётся точка остова, в которой функция ${\displaystyle f(z)}$ имеет максимум модуля[5]. Обратно, для любой точки остова ${\displaystyle z'=(x'_{1},\,x'_{2},\,\dots ,\,x'_{n})}$ найдётся голоморфная функция ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ с максимумом модуля в этой точке, например, следующая голоморфная функция[5]: ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z_{1}-x'_{1}+i)(z_{2}-x'_{2}+i)\cdots (z_{n}-x'_{n}+i)}}}$. Автоморфизм области Зигеля первого рода Прим доказательстве теоремы понадобится следующая формулировка леммы Чеботарёва[8]. Лемма 1 (Чеботарёв). На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (\zeta )}$ функция ${\displaystyle f(\zeta )}$, аналитическая в открытой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta >0}$ при условии ${\displaystyle \operatorname {Im} f(\zeta )>0}$, непрерывная в замкнутой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta \geqslant 0}$ и принимающая вещественные значения на вещественной оси может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде: ${\displaystyle f(\zeta )=a\zeta +b}$, где ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа[8][9]. Теорема 1. Произвольный голоморфный автоморфизм области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, непрерывный в замыкании ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, имеет следующий матричный линейный вид: ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b} }$, где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — аффинное преобразование вещественного конуса ${\displaystyle V}$ на себя самого, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — вещественный вектор[8]. Не умаляя общности, предположим, что область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ лежит в области ${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,}$ и пусть ${\displaystyle z\to \varphi (z)=(\varphi _{1}(z),\,\varphi _{2}(z),\,\dots ,\,\varphi _{n}(z))}$ есть голоморфный автоморфизм ${\displaystyle D(V)}$, непрерывный в замыкании ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$. Для любого ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n}$ и произвольной точки ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}\in D(V)}$ сконструируем вспомогательную функцию ${\displaystyle f(\zeta )=\varphi _{k}(x_{0}+\zeta y_{0})}$, ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} }$. Эта функция удовлетворяет лемме Чеботарёва, следовательно, она линейная. Поэтому и ${\displaystyle z\to \varphi (z)}$ есть линейное преобразование ${\displaystyle \varphi (\mathbf {z} )=\mathbf {Az} +\mathbf {b} }$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — некоторая комплексная матрица, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — некоторый комплексный вектор. Так как остов области Зигеля первого рода ${\displaystyle D(V)}$ nepeходит сама в себя при отображении ${\displaystyle \mathbf {z} \to \varphi (\mathbf {z} )}$ по теореме об автоморфизме остова Запишем вещественную и мнимую части отдельно: ${\displaystyle \varphi (\mathbf {z} )=\mathbf {Ax} +\mathbf {b} +i\mathbf {Ay} }$, другими словами, если ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$, то тогда и ${\displaystyle \mathbf {Ay} \in V}$. С другой стороны, обратное преобразование ${\displaystyle \mathbf {z} \to \varphi ^{-1}(\mathbf {z} )}$ к преобразованию ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b} }$ можно записать как ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {z} -\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$, следовательно, если ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$, то тогда и ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {y} \in V}$. Итак, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — матрица аффинного преобразования конуса ${\displaystyle V}$ на самого себя. Элемент объёма в области Зигеля первого рода Предложение 1. Произвольная ограниченная область комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ всегда содержит объём, инвариантный относительно её голоморфных автоморфизмов[10]. Найдём формулу инвариантного элемента объёма ${\displaystyle dv}$ в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть ${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y)dxdy,}$ где ${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$. Так как для области ${\displaystyle D(V)}$ возможно преобразование вида ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {z} +\mathbf {b} }$, где ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — произвольный вещественный вектор, то коэффициент ${\displaystyle \lambda }$ не зависит от ${\displaystyle x}$, то есть инвариантный элемент объёма в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет следующий вид[10]: ${\displaystyle dv=\lambda (y)dxdy.}$ Кроме того, если ${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {Ay} }$ есть аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$, то тогда ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$ — преобразование области ${\displaystyle D(V)}$, следовательно, имеем следуюшее равенство[10]: ${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$. Связь с неприводимыми симметрическими областями Математически интересны аналитически однородные области ${\displaystyle D(V)}$. Область ${\displaystyle D(V)}$ аналитически однородна, если конус ${\displaystyle V}$ линейно однороден, то есть для произвольных двух точек ${\displaystyle y_{1},\,y_{2}\in V}$ найдётся аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$ на себя такое, что точка ${\displaystyle y_{1}}$ переходит в точку ${\displaystyle y_{2}}$. В таких областях инвариантный элемент объёма ${\displaystyle \lambda (\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}}$[10]. Предложение 1. Если ${\displaystyle V_{1}\in \mathbb {R} ^{n_{1}}}$, ${\displaystyle V_{2}\in \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ — однородные конусы, то множество всех точек ${\displaystyle (y_{1},\,y_{2})}$, ${\displaystyle y_{1}\in V_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}\in V_{2}}$, составляет однородный конус в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}}$[10]. Неприводимый конус — конус, который нельзя разложить на два конуса как в предыдущем абзаце[10]. Рассмотрим связь областей Зигеля 1-го рода с классическими областями — неприводимыми симметрическими типов I—IV, биголоморфно эквивалентными неприводимым конусам[10]. Cоответствующие области Зигеля 1-го рода всех описанных ниже однородных конусов — симметрические[11]. Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} =(y_{ks})}$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка ${\displaystyle p}$. Произвольной матрице ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ поставим в соответствие точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p^{2}}}$ со следующими координатами[10]: ${\displaystyle y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,\operatorname {Re} y_{21},\,\operatorname {Im} y_{21},\,\dots ,\,\operatorname {Re} y_{p,\,p-1},\,\operatorname {Im} y_{p,\,p-1}.}$ Предложение 1. Множество точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p^{2}}}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус[10]. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид ${\displaystyle \mathbf {Y} \to \mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$, где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ — эрмитово сопряжённая матрица матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$[12]. Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная эрмитова, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — положительно определённая эрмитова матрица[12]. Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$[12]. По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа I с условием ${\displaystyle p=q}$[12]. Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка ${\displaystyle 2p}$ со следующими условиями[12]: ${\displaystyle \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {j} \end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$. Перепишем ${\displaystyle \mathbf {Y} =(\mathbf {y} _{ks})}$, ${\displaystyle k,\,s=1,\,\dots ,\,p}$, где ${\displaystyle \mathbf {y} _{ks}}$ — матрицы порядка 2. Тогда условия перепишутся в виде ${\displaystyle \mathbf {y} _{ks}^{*}=\mathbf {y} _{sk}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {y} _{ks}\mathbf {j} =\mathbf {j} {\bar {\mathbf {y} }}_{ks}}$, откуда следуют соотношения ${\displaystyle \mathbf {y} _{kk}={\begin{pmatrix}u_{kk}&0\\0&u_{kk}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {y} _{ks}={\begin{pmatrix}u_{ks}&v_{ks}\\-{\bar {v}}_{ks}&{\bar {u}}_{ks}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle k<s}$, ${\displaystyle \quad u_{ks}=a_{ks}+ib_{ks}}$, ${\displaystyle \quad v_{ks}=c_{ks}+id_{ks}}$, где ${\displaystyle u_{kk}}$, ${\displaystyle a_{ks}}$, ${\displaystyle b_{ks}}$, ${\displaystyle c_{ks}}$, ${\displaystyle d_{ks}}$ — вещественные числа, которые можно принять за координаты[12]. Предложение 1. Так построенные матрицы ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ образуют пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(2p-1)}}$[12]. Предложение 2. Множество точек ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(2p-1)}}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют следующий вид[12]: ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$, где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle 2p}$, причём ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {A} }}}$. Построенный конус образован всеми положительно определёнными кватернионными матрицами[13]. Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle 2p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {X} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {X} ^{*}=\mathbf {X} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} ^{*}=\mathbf {Y} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} >0}$, другими словами, ${\displaystyle \mathbf {Z} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Z} }}}$ и матрица ${\displaystyle {\frac {1}{i}}(\mathbf {Z} -\mathbf {Z} ^{*})}$ положительно определена[13]. Предложение 3. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$[13]. По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа II с чётным ${\displaystyle p}$[13]. Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} =(y_{ks})}$ — все вещественные симметрические матрицы порядка ${\displaystyle p}$. Произвольной матрице ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ поставим в соответствие точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(p+1)/2}}$ со следующими координатами[13]: ${\displaystyle y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,y_{21},\,\dots ,\,y_{p,\,p-1}.}$ Предложение 1. Множество точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(p+1)/2}}$, которые соответствуют только положительно определённым симметрическим матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{T}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$, где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ — транспонированная матрица матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$[13]. Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество симметрических комплексных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная вещественная симметрическая матрица, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — вещественная симметрическая положительно определённая матрица[13]. Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$[13]. По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа III. Обычно её называют обобщённой верхней полуплоскостью Зигеля[13]. Пусть конус в вещественном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}$ определяется следующими неравенствами[13]: ${\displaystyle y_{1}y_{2}-y_{3}^{2}-\cdots -y_{n}^{2}>0}$, ${\displaystyle \quad y_{1}>0}$. Предложение 1. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид ${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {A} \mathbf {y} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {A} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {A} =\lambda \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{matrix}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {E} \end{pmatrix}}}$ где ${\displaystyle \lambda }$ — произвольное положительное число[11]. Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество всех точек ${\displaystyle z=x+iy}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ — произвольное, а ${\displaystyle y}$ лежит на конусе.[11]. Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle z=(i,\,i,\,0,\,\dots ,\,0)}$ имеет следующий вид[11]: ${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,\dots ,\,z_{n})\to \left({\frac {-z_{2}}{\lambda (z)}},\,{\frac {-z_{1}}{\lambda (z)}},\,{\frac {z_{3}}{\lambda (z)}},\,\dots ,\,{\frac {z_{n}}{\lambda (z)}}\right),}$ ${\displaystyle \lambda (z)=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}-\cdots -z_{n}^{2}.}$ По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа IV[11]. Э. Винберг создал классификацию аффинно однородных конусов и нашёл все самосопряженные[11]. Самосопряжённый конус — конус ${\displaystyle V}$ такой, что в объемлющем пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ можно найти положительно определённую квадратичную форму ${\displaystyle H(x,\,y)}$, удовлетворяющую двум следующим условиям[11]: для всех ${\displaystyle x,\,y\in V}$ форма ${\displaystyle H(x,\,y)>0}$; при произвольном ${\displaystyle x\notin {\bar {V}}}$ найдётся такой ${\displaystyle y\in V}$, что ${\displaystyle H(x,\,y)<0}$, где ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$[11]. Предложение 1. Самосопряженный конус обладает двумя свойствами: выпуклый; не содержит целой прямой[11]. Предложение 2. Существуют только четыре бесконечные серии неприводимых самосопряжённых аффинно однородных конусов типов I—IV и один неприводимый конус в 27-мерном пространстве. Этот конус можно реализовать с помощью эрмитовых матриц третьего порядка над числами Кэли[11]. Э. Винберг нашёл примеры аффинно однородных, несамосопряженных, выпуклых и не содержащих целой прямой конусов. Простейший — множество всех симметрических положительно определенных матриц ${\displaystyle Y=(y_{ks})}$, ${\displaystyle y_{31}=y_{13}=0}$, порядка 3[14]. Область Зигеля второго рода Здесь будет определена область Зигеля 2-го рода Простейший пример область Зигеля второго рода Простейший пример область Зигеля второго рода — это область в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} z-|u|^{2}>0}$, где ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle u}$ — числовые комплексные переменные[15]. Предложение 1. Эта область есть решение следующей задачи: отобразить шар в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}<1}$ в некоторую область ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{2}}$ таким образом, чтобы любое преобразование шара, для которого заданная точка на границе шара неподвижна, было линейным преобразованием ${\displaystyle D(V)}$[15]. Определение области Зигеля второго рода Рассмотрим выпуклый конус ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$[комм 1], которому не принадлежит никакая прямая, и функцию ${\displaystyle F(u,\,v)\colon \mathbb {C} ^{m}\to \mathbb {C} ^{n}}$, в общем случае ${\displaystyle m\neq n}$, и определим V-эрмитовые вектор-функции, обобщающие эрмитовы положительно определенные формы[15]. V-эрмитова вектор-функция — вектор-функция ${\displaystyle F(u,\,v)}$, для которой выполнены четыре условия[15]: ${\displaystyle F(u,\,v)={\overline {F(u,\,v)}};}$ ${\displaystyle F(\lambda u_{1}+\mu u_{2},\,v)=\lambda F(u_{1},\,v)+\mu F(u_{2},\,v),}$ ${\displaystyle \lambda ,\,\mu }$ — произвольные комплексные числа; ${\displaystyle F(u,\,u)\in {\bar {V}},}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$; ${\displaystyle F(u,\,u)=0}$ только при ${\displaystyle u=0.}$ Область Зигеля 2-го рода — множество всех точек ${\displaystyle (z,\,u)\in \mathbb {C} ^{n+m}}$, для которых выполняется следующее условие[16]: ${\displaystyle \operatorname {Im} z-F(u,\,u)\in V}$. Предложение 1. Следующая область Зигеля 2-го рода в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-|u_{2}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2}>0}$, где ${\displaystyle z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{m}}$ — числовые комплексные переменные, биголоморфно эквивалентна следующему шару[16]: ${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\cdots +|z_{m+1}|^{2}<1}$. Доказательство. Пусть ${\displaystyle z_{1}={\frac {z-i}{z+i}},\,z_{2}={\frac {2u_{1}}{z+i}},\,\dots ,\,z_{m+1}={\frac {2u_{m}}{z+i}}}$[комм 1], тогда ${\displaystyle 1-\sum _{k=1}^{m+1}|z_{k}|^{2}={\frac {4}{|z+i|^{2}}}(\operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2})>0}$[комм 1], следовательно, предложение доказано[16]. Отображение области Зигеля второго рода Выше было показано, что произвольная область Зигеля 1-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение ${\displaystyle n}$ кругов. Докажем аналогичную теорему для произвольной области Зигеля 2-го рода Теорема 1. Произвольная область Зигеля 2-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение ${\displaystyle n}$ шаров[16]. По условию конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус ${\displaystyle V}$ принадлежит следующему ортанту: ${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,}$ Отсюда получаем, что все компоненты ${\displaystyle F_{k}(u,\,u),\,}$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\,}$ суть неотрицательно определённые эрмитовы формы от ${\displaystyle m}$ переменных ${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{m}.}$ Произвольная такая форма ${\displaystyle F_{k}(u,\,u)}$ может быть записана как некоторая сумма квадратов линейных форм: ${\displaystyle F_{k}(u,\,u)=|L_{k1}|^{2}+|L_{k2}|^{2}+\cdots +|L_{ks_{k}}|^{2}.}$ Для доказательства теоремы сконструируем вектор-функции ${\displaystyle {\tilde {F}}_{k}(u,\,u)}$[комм 1], обладающие следующими двумя свойствами: область ${\displaystyle D(V)}$ принадлежит области ${\displaystyle {\widetilde {D}}(V)}$, которая определяется следующими неравенствами: ${\displaystyle \operatorname {Im} z_{k}-{\tilde {F}}_{k}(u,\,u)>0,\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n;}$ область ${\displaystyle {\widetilde {D}}(V)}$ биголоморфно эквивалентна произведению ${\displaystyle n}$ шаров. 1. Построение ${\displaystyle {\tilde {F}}_{k}(u,\,u)}$. Пусть ${\displaystyle {\tilde {F}}_{1}(u,\,u)=F_{1}(u,\,u).}$ Удалим из линейных форм ${\displaystyle L_{21},\,L_{22},\,\dots ,\,L_{2s_{2}}}$ формы, линейно выражающиеся через ${\displaystyle L_{11},\,L_{12},\,\dots ,\,L_{1s_{1}}.}$ Определим ${\displaystyle {\tilde {F}}_{2}(u,\,u)=\sum _{s}'|L_{2s}|^{2},}$ где в суммировании под штрихом используются только неудалённые формы. Удалим из линейных форм ${\displaystyle L_{31},\,L_{32},\,\dots ,\,L_{3s_{2}}}$ формы, линейно выражающиеся через ${\displaystyle L_{ks},\,}$ ${\displaystyle k=1,\,2.}$ Определим ${\displaystyle {\tilde {F}}_{3}(u,\,u)=\sum _{s}'|L_{3s}|^{2},}$ где в суммировании под штрихом используются только неудалённые формы. ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}(u,\,u)}$ конструируются аналогично, и так далее. При этом ${\displaystyle D(V)\subset {\widetilde {D}}(V)}$. 2. Эквивалентность произведению ${\displaystyle n}$ шаров. Из того, что, по определению, ${\displaystyle F(u,\,u)=0}$ только при ${\displaystyle u=0}$, следует. что уравнения ${\displaystyle L_{ks}=0,\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\quad }$ ${\displaystyle s=1,\,2,\,\dots ,\,s_{k}}$ обладают единственным решением ${\displaystyle u=0}$. Поэтому количество неудалённых линейных форм равно ${\displaystyle m}$, причём они линейно независимы по построению. Пусть эти ${\displaystyle m}$ форм будут новыми переменными ${\displaystyle u'_{1},\,u'_{2},\,\dots ,\,u'_{m}.}$ В новых переменных ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n},\,u'_{1},\,u'_{2},\,\dots ,\,u'_{m}}$ система неравенств, которой задаётся область ${\displaystyle {\widetilde {D}}(V)}$, имеют следующий вид: ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\operatorname {Im} z_{1}-|u'_{1}|^{2}-|u'_{2}|^{2}-\cdots -|u'_{m_{1}}|^{2}>0,\\\operatorname {Im} z_{2}-|u'_{m_{1}+1}|^{2}-|u'_{m_{1}+2}|^{2}-\cdots -|u'_{m_{2}}|^{2}>0,\\\cdots \\\operatorname {Im} z_{n}-|u'_{m_{n-1}+1}|^{2}-|u'_{m_{n-1}+2}|^{2}-\cdots -|u'_{m}|^{2}>0,\end{matrix}}\right.}$ где ${\displaystyle m_{1},\,m_{2},\,\dots ,\,m_{n-1}}$ — некоторые натуральные числа. Наконец, остаётся принять во внимание, что любое из представленных неравенств определяет область Зигеля 2-го рода, биголоморфно эквивалентную шару. Итак, произвольная область Зигеля 2-го рода биголоморфно эквивалентна ограниченной области в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+m}}$. Остов области Зигеля второго рода Остов области Зигеля 2-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle (z,\,u)}$, причём ${\displaystyle \operatorname {Im} z=F(u,\,u)}$[7]. Заметим, что в отличие от области Зигеля 1-го рода вещественная размерность остова ${\displaystyle 3n}$ больше комплексной размерности ${\displaystyle 2n}$ всей области ${\displaystyle D(V)}$[7]. Следующая теорема об автоморфизме остова аналогична теореме для области Зигеля 1-го рода[7]. Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ инвариантен, то есть переходит сам в себя, при любом голоморфном автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, непрерывном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, причём при произвольном голоморфном автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$ точка на остове отображается либо в некоторую точку на остове, либо в бесконечность[7]. Доказательство. Доказательство теоремы основано на двух предложениях[7]: любая голоморфная в замкнутой области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функция, модуль которой имеет в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ максимум, имеет по крайней мере одну точку максимума модуля на остове; для любой точки остова всегда найдётся функция, модуль которой достигает в ней максимума. Линейное преобразование области Зигеля второго рода Параллельный перенос области Зигеля 2-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими двумя преобразованиями: ${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}}$ где любые ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{m}}$[7]. Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля второго рода есть нильпотентная группа класса 2 ${\displaystyle G}$, другими словами, её коммутант, то есть группа, порождённая элементами вида ${\displaystyle g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}}$, ${\displaystyle g_{1},\,g_{2}\in G}$, абелева[7]. Предложение 2. При параллельных переносах области Зигеля второго рода разность ${\displaystyle \operatorname {Im} z-F(u,\,u)}$[комм 1] инвариантна. Любую точку ${\displaystyle (z,\,u)\in D(V)}$ параллельным переносом области Зигеля второго рода можно перевести в точку ${\displaystyle (iy,\,0)}$, где ${\displaystyle y=\operatorname {Im} z-F(u,\,u)}$[7]. Линейные преобразования области Зигеля 2-го рода не ограничиваются только параллельным переносом[7]. Теорема 1. Произвольное линейное преобразование области Зигеля 2-го рода задаётся следующими двумя преобразованиями[7]: ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to Bu+b,\end{cases}}}$ где любые ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle A}$ — линейное преобразование конуса на себя, ${\displaystyle B}$ — комплексное линейное преобразование, ${\displaystyle AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)}$ для любых ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$[18]. Рассмотрим следующее аффинное преобразование ${\displaystyle D(V)}$ на себя: ${\displaystyle {\begin{cases}z\to R_{1}z+R_{2}u+r,\\u\to Q_{1}z+Q_{2}u+q.\end{cases}}}$ 1. Доказательство ${\displaystyle Q'_{1}=0}$. Используем то, что при этом преобразовании остов инвариантен. Рассмотрим точку остова ${\displaystyle (0,\,0)}$. Её образ ${\displaystyle (r,\,q)}$ — тоже точка остова, следовательно, ${\displaystyle \operatorname {Im} r=F(q,\,q).}$ Умножая аффинное преобразование на подходящее преобразование параллельного переноса, получаем новое преобразование ${\displaystyle {\begin{cases}z\to R'_{1}z+R'_{2}u,\\u\to Q'_{1}z+Q'_{2}u,\end{cases}}}$ для которого ${\displaystyle r=q=0}$. Точка остова ${\displaystyle (x,\,0),}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, отображается в точку ${\displaystyle (R'_{1}x,\,Q'_{1}x),}$ поэтому ${\displaystyle (\operatorname {Im} R'_{1})x=F(Q'_{1}x,\,Q'_{1}x)}$ для произвольного ${\displaystyle x}$. Левая часть этого соотношения линейна по ${\displaystyle x}$, а правая имеет вторую степень от ${\displaystyle x}$, отсюда ${\displaystyle \operatorname {Im} R'_{1},\,Q'_{1}=0.}$ 2. Доказательство ${\displaystyle R'_{2}=0}$. Точка остова ${\displaystyle (iy,\,u),}$ ${\displaystyle y=F(u,\,u),}$ отображается в точку ${\displaystyle (iR'_{1}y+R'_{2}u,\,Q'_{2}u),}$[комм 1] сразу получаем ${\displaystyle R'_{1}y+\operatorname {Im} R'_{2}u=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u).}$ Заменим в этом равенстве переменную ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle e^{i\varphi }u}$, тогда ${\displaystyle R'_{1}y+\operatorname {Im} e^{i\varphi }R'_{2}u=e^{i\varphi }e^{-i\varphi }F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u),}$ то есть ${\displaystyle \operatorname {Im} e^{i\varphi }R'_{2}u}$ не зависит от ${\displaystyle \varphi }$. Поэтому ${\displaystyle R'_{2}u=0}$, а по причине произвольности ${\displaystyle u}$ также и ${\displaystyle R'_{2}=0}$. Итак, доказано, что ${\displaystyle {\begin{cases}z\to R'_{1}z+R'_{2}u,\\u\to Q'_{1}z+Q'_{2}u,\end{cases}}}$ а значит, и ${\displaystyle {\begin{cases}z\to R_{1}z+R_{2}u+r,\\u\to Q_{1}z+Q_{2}u+q\end{cases}}}$ имеет вид ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to Bu+b.\end{cases}}}$ Подставим в ${\displaystyle R'_{1}y=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u)}$ равенство ${\displaystyle y=F(u,\,u),}$ получим: ${\displaystyle R'_{1}F(u,\,u)=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u).}$ Теорема доказана. Пример однородной области Зигеля второго рода Рассмотрим множество ${\displaystyle \Omega }$ всех линейных преобразований ${\displaystyle A}$ конуса ${\displaystyle V}$, которые продолжаются до линейных преобразований всей области Зигеля второго рода ${\displaystyle D(V)}$, другими словами, при некотором комплексном линейном преобразовании ${\displaystyle B}$ выполняется следующее равенство[18]: ${\displaystyle AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)}$[комм 1]. Предложение 1. Область Зигеля второго рода ${\displaystyle D(V)}$ однородна, если соответствующее множество ${\displaystyle \Omega }$ линейных преобразований транзитивно действует на конусе ${\displaystyle V}$[19]. Пример. Приведём пример однородной области. Учтём, что область Зигеля второго рода однозначно определяется конусом ${\displaystyle V}$ и V-эрмитовой вектор-функцией ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$[19]. Рассмотрим конус ${\displaystyle V}$ эрмитовых положительно определённых матриц ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$. Для простоты и удобства пространство определения V-эрмитовой вектор-функции ${\displaystyle F}$ реализуем (смоделируем) как пространство размерности ${\displaystyle ps}$ всех комплексных прямоугольных матриц ${\displaystyle \mathbf {U} }$ размера ${\displaystyle p\times s}$. Теперь функцию ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$ можно определить простой формулой ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )=\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$, то есть функция ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$ есть квадратная матрица порядка ${\displaystyle p}$, причём эрмитова матрица ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} )\in {\bar {V}}}$[19]. Предложение 2. Все аффинные преобразования конуса ${\displaystyle V}$ образуют группу ${\displaystyle \Omega }$ всех его линейных преобразований[19]. Доказательство. В построенном пространстве для его аффинных преобразований вида ${\displaystyle \mathbf {U} \to \mathbf {B} \mathbf {U} }$, где ${\displaystyle B}$ — произвольная невырожденная квадратная матрица порядка ${\displaystyle p}$, получаем[19]: ${\displaystyle F(\mathbf {B} \mathbf {U} ,\,\mathbf {B} \mathbf {V} )=\mathbf {B} \mathbf {U} (\mathbf {B} \mathbf {V} )^{*}=\mathbf {B} \mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}\mathbf {B} ^{*}=\mathbf {B} F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )\mathbf {B} ^{*}.}$ Завершая доказательство, приведём вид всех аффинных[комм 1] преобразований конуса ${\displaystyle V}$[19]: ${\displaystyle \mathbf {Y} \to \mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{*}}$, ${\displaystyle AF(U,\,V)=F(BU,\,BV).}$ Предложение 3. Построенная область симметрическая, а следовательно, однородная[19]. Доказательство. Инволюция ${\displaystyle (\mathbf {Z} ,\,\mathbf {U} )=(-\mathbf {Z} ^{-1},\,-i\mathbf {Z} ^{-1}\mathbf {U} )}$ имеет единственную неподвижную точку ${\displaystyle (-i\mathbf {E} ,\,\mathbf {0} )}$[19]. Элемент объёма в области Зигеля второго рода Найдём формулу инвариантного элемента объёма ${\displaystyle dv}$ в области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть ${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y,\,u_{1},\,u_{2})dxdydu_{1}du_{2},}$ где ${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$, ${\displaystyle u_{1}=\operatorname {Re} u}$, ${\displaystyle \quad u_{2}=\operatorname {Im} u}$, ${\displaystyle \quad du_{1}}$ и ${\displaystyle du_{2}}$ обозначают произведения соответствующих дифференциалов координат[19]. Поскольку область Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет автоморфизмы вида ${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}}$ то имеем следующее равенство[19]: ${\displaystyle \lambda =\lambda (\mathbf {y} -F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} ))}$. Кроме того, если у области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеется голоморфный автоморфизм ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {u} \to \mathbf {Bu} }$, то тогда получаем[20]: ${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}(\det \mathbf {B} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$. Отсюда для аффинной однородной области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ определяется коэффициент ${\displaystyle \lambda (\mathbf {y} )}$ с точностью до числового множителя[20]. Область Зигеля третьего рода Здесь будет определена область Зигеля 3-го рода и исследованы некоторые её свойства. Такие области были созданы по той причине, что в ${\displaystyle n}$-мерном комплексном пространстве граница области неоднородна, то есть состоит из аналитические «кусочков» разных размерностей[21]. В теории автоморфных функций от нескольких комплексных переменных большое значение имеет предельный переход такой, что точка внутри области стремится к граничной точке, которая лежит на некотором аналитическом «кусочке». Области Зигеля 3-го рода применяются при исследовании такого предельного перехода[21]. Полуэрмитова форма Пусть дана скалярная форма, то есть форма, принимающая числовые значения, ${\displaystyle L(u,\,v)}$ от пары векторов ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$[21]. Полуэрмитова, или скалярная полуэрмитова, форма — скалярная форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$, которая представляется в виде ${\displaystyle L_{0}(u,\,v)+L_{1}(u,\,v),}$ где ${\displaystyle L_{0}(u,\,v)}$ — эрмитова форма, ${\displaystyle L_{1}(u,\,v)}$ — симметричная билинейная форма[21]. Предложение 1. Полуэрмитова форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$ имеет следующие свойства[21]: ${\displaystyle L(u,\,v)}$ по первому аргументу комплексно линейна, по второму — вещественно линейна; разность ${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)}$ чисто мнимая. Справедливо обратное утверждение[21]. Теорема 1. Форма с указанными в предложении 1 свойствами полуэрмитова[21]. Из линейности формы следует, что ${\displaystyle L(u,\,v)=\sum _{k,\,r=1}^{m}a_{kr}u_{k}v_{r}+\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r},}$ тогда ${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)=\sum _{k,\,r=1}^{m}(a_{kr}-a_{rk})u_{k}v_{r}+\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r}-\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}v_{k}{\bar {u}}_{r},}$ и если приравнять нулю все переменные, кроме конкретных ${\displaystyle u_{k}}$ и ${\displaystyle v_{r}}$, то получим чисто мнимое число ${\displaystyle (a_{kr}-a_{rk})u_{k}v_{r}+b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r}-b_{rk}v_{r}{\bar {u}}_{k},}$ следовательно, ${\displaystyle a_{kr}-a_{rk}\quad }$ и ${\displaystyle \quad b_{kr}={\bar {b}}_{rk}}$. Предложение 2. Представление полуэрмитовой формы как суммы эрмитовой и симметричной билинейной формы единстванно[22]. Векторная полуэрмитова форма — векторная форма, каждая компонента которой есть скалярная полуэрмитова форма[22]. Невырожденная полуэрмитова форма — полуэрмитова форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$, обладающая следующим свойством: если при всех ${\displaystyle u}$ имеет место равенство ${\displaystyle L(u,\,v_{0})=0}$, то ${\displaystyle v_{0}=0}$[22]. Определение области Зигеля третьего рода Пусть ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — ограниченная область в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}(t)}$, и любому ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ поставлена в соответствие невырожденная полуэрмитова форма ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, а ${\displaystyle V}$, как и в случае области Зигеля 1-го рода, — открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая[22]. Область Зигеля 3-го рода — множество ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ всех точек ${\displaystyle w=(z,\,u,\,t)\in \mathbb {C} ^{N}}$, ${\displaystyle N=n+m+t}$, для которых выполняется следующие два условия[22]: ${\displaystyle \operatorname {Im} z-\operatorname {Re} L_{t}(u,\,u)\in V,}$ ${\displaystyle \quad t\in {\mathcal {D}},}$[комм 1] множество ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ биголоморфно эквивалентно некоторой ограниченной области. Пример 1. Простейший нетривиальный пример области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ состоит в следующем. Положим ${\displaystyle m=n=k=1}$, ограниченная область ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — единичный круг ${\displaystyle |t|<1}$ на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (x,\,y)}$, конус ${\displaystyle V}$ — полупрямая ${\displaystyle y>0}$, и пусть невырожденная полуэрмитова форма определена следующим образом[23]: ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)=(1-|t|^{2})^{-1}u{\bar {v}}+{\bar {t}}(1-|t|^{2})^{-1}uv.}$ Так определённая область ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ биголоморфно эквивалентна некоторой классической области типа III[23]. Согласованные вектор-функции Предложение 1. Произвольную область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ можно преобразовывать следующим образом: ${\displaystyle z\to z+a}$, ${\displaystyle \quad u\to u}$, ${\displaystyle \quad t\to t}$, где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любое[23]. Биголоморфная вектор-функция ${\displaystyle c(t)}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ согласована с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$, когда форма ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ есть биголоморфная функция от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ при произвольном ${\displaystyle u}$[23]. Предложение 2. Множество всех согласованных с заданной формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ вектор-функций есть линейное пространство над полем вещественных чисел[23]. Пример 1. Продолжим пример 1 из предыдущкго раздела. Положим ${\displaystyle c(t)=c-t{\bar {c}}}$, где ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$. Получим[23]: ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))=u{\bar {c}}.}$ Пример демонстрирует, что если биголоморфная вектор-функция ${\displaystyle c(t)}$ согласована с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$, то функция ${\displaystyle c_{1}(t)=ic(t)}$ в общем случае не согласована[23]. Значение и роль описанных выше согласованных вектор-функций определяются следующей теоремой[23]. Теорема 1. Рассмотрим не обязательно биголоморфную вектор-функцию ${\displaystyle c(t)}$ на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$. Для этой вектор-функции следующее преобразование ${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$ где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор, есть[23]: биекция области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ на себя; биголоморфное отображение тогда и только тогда, когда функции ${\displaystyle c(t)}$ и ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ биголоморфны от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ для произвольного ${\displaystyle u}$. 1. Биекция. Данное в условии теоремы преобразование сохраняет разность ${\displaystyle \operatorname {Im} z-\operatorname {Re} L_{t}(u,\,u),}$ то есть переводит область ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ в себя. Взаимная однозначность следует из существования обратного преобразования, получаемое заменой ${\displaystyle c(t)}$ на ${\displaystyle -c(t)}$. 2. Биголоморфное отображение. Если данное в условии теоремы преобразование биголоморфно, то и ${\displaystyle c(t)}$ и ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ биголоморфны как функции от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ для произвольного ${\displaystyle u}$. Обратно. Пусть ${\displaystyle c(t)}$ и ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ биголоморфны как функции от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ для произвольного ${\displaystyle u}$. Достаточно доказать, что функция ${\displaystyle L_{t}(c(t),\,c(t))}$ биголоморфна. Функция ${\displaystyle L_{t}(c_{1}(t_{1}),\,c_{2}(t_{2}))}$, где векторы ${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$ фиксированы, голоморфна от ${\displaystyle t_{1}}$ при фиксированном ${\displaystyle t_{2}}$, и наоборот. Отсюда по теореме Хартогса функция ${\displaystyle L_{t}(c_{1}(t_{1}),\,c_{2}(t_{2}))}$ биголоморфна от ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$. При ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ функция ${\displaystyle L_{t}(c_{1}(t),\,c_{2}(t))}$ биголоморфна от ${\displaystyle t}$. Предложение 3. Рассмотрим биголоморфную в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ вектор-функцию ${\displaystyle c(t)}$, согласованную с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$. Из свойства 4 вытекает, что для произвольного ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ если ${\displaystyle c(t_{0})=0}$, то ${\displaystyle c(t)=0}$[6]. Доказательство. Рассмотрим преобразование ${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$ где ${\displaystyle c(t)}$ — данная вектор-функция и ${\displaystyle a=0}$. Из свойства 4 вытекает, что это преобразование тривиально, то есть ${\displaystyle c(t)\equiv 0}$[6]. Из этого доказательства также следует, что размерность ${\displaystyle \mu }$ линейного пространства вектор-функций ${\displaystyle c(t)}$, согласованных с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ и биголоморфных в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, не больше ${\displaystyle 2m}$. В дальнейшем в этой статье всегда ${\displaystyle \mu =2m}$[6]. Параллельный перенос области Зигеля третьего рода Параллельный перенос области Зигеля 3-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими тремя преобразованиями: ${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$ где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор[24]. Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля 3-го рода составляет группу ${\displaystyle \Delta }$. Как и в случае областей Зигеля 2-го рода, группа ${\displaystyle \Delta }$ есть нильпотентная группа класса 2. Группу ${\displaystyle \Delta }$ можно представить в виде множества пар ${\displaystyle (c,\,a)}$, где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{\mu }}$, а ${\displaystyle \mu }$ — размерность пространства всех вектор-функций, согласованных с данной формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$[24]. Форма ${\displaystyle Q(c_{1},\,c_{2})=i(L_{t}(c_{1}(t),\,c_{2}(t))-L_{t}(c_{2}(t),\,c_{1}(t)))}$ для произвольных фиксированных ${\displaystyle c_{1}(t)}$ и ${\displaystyle c_{2}(t)}$ биголоморфна по ${\displaystyle t}$ и всегда вещественна, так как разность ${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)}$ чисто мнимая, и поэтому форма ${\displaystyle Q(c_{1},\,c_{2})}$ не зависит от ${\displaystyle t}$[24]. Предложение 2. Формула ${\displaystyle (c_{1},\,a_{1})\times (c_{2},\,a_{2})=(c_{1}+c_{2},\,a_{1}+a_{2}+Q(c_{1},\,c_{2}))}$ задаёт закон композиции группы ${\displaystyle \Delta }$[24]. Предложение 3. Из свойства 5 следует, что группа ${\displaystyle \Delta }$ — нормальный делитель в группе всех квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода[25]. Квазилинейное преобразование области Зигеля третьего рода Исследования областей Зигеля 1-го и 2-го рода основаны в том числе на группе их линейных преобразований. Но для областей Зигеля 3-го рода линейные преобразования заменяются на квазилинейные[26]. Квазилинейное преобразование области Зигеля 3-го рода — биекция области Зигеля ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ вида ${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\\\end{cases}}}$ где ${\displaystyle A(t)}$ и ${\displaystyle B(t)}$ — биголоморфные в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричные функции, ${\displaystyle a(u,\,t)}$ и ${\displaystyle b(t)}$ — биголоморфные в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ векторные функции, ${\displaystyle t\to g(t)}$ — голоморфный автоморфизм области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$[26]. Приведём два общих свойства голоморфных автоморфизмов ограниченных областей, которые понадобятся при рассмотрении квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$[26]: (A) голоморфный автоморфизм ограниченной области, имеющей неподвижную точку, полностью определён матрицей Якоби в этой точке[27] (используется при доказательстве свойства 5[25]); (B) последовательность голоморфных автоморфизмов ограниченной области компактна (то есть имеется подпоследовательность, сходящаяся в области) при наличии хотя бы одной точки, последовательность образов которой компактна в этой области[28] (используется при доказательстве свойства 2[29] и свойства 4[6]). Рассмотрим следующий голоморфный автоморфизм ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$: ${\displaystyle z\to \lambda ^{2}z}$, ${\displaystyle \quad u\to \lambda u}$, ${\displaystyle \quad t\to t}$, где ${\displaystyle \lambda \in R}$ — любое. Наличие семейства голоморфных автоморфизмов вида ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ закономерно для областей Зигеля 3-го рода[26]. Свойства квазилинейных преобразований области Зигеля третьего рода Свойство 1. У любого квазилинейного преобразования ${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}}$ области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ матрица ${\displaystyle A(t)}$ не зависит от ${\displaystyle t}$. Линейное преобразование ${\displaystyle y\to Ay}$ есть биекция конуса ${\displaystyle V}$ на себя[26]. При данном преобразовании точка ${\displaystyle (z,\,0,\,t)\in D(V,\,{\mathcal {D}})}$ отображается в точку ${\displaystyle (A(t)z+a(0,\,t),\,b(t),\,g(t))}$, и если эта точка лежит в области ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$, то ${\displaystyle \operatorname {Im} (A(t)z+a(0,\,t))-\operatorname {Re} L_{t}(b(t),\,b(t))\in V}$ для произвольного ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$. Исходная точка ${\displaystyle (z,\,0,\,t)}$ принадлежит области ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y=\operatorname {Im} z\in V}$, поэтому с ней принадлежит ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ также и точка ${\displaystyle (\lambda z,\,0,\,t)}$, где ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \lambda >0}$ — любое. Подставим в ${\displaystyle \operatorname {Im} (A(t)z+a(0,\,t))-\operatorname {Re} L_{t}(b(t),\,b(t))\in V}$ вместо ${\displaystyle z}$ переменную ${\displaystyle \lambda z}$ и перейдём к пределу при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, получим для произвольного ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$: ${\displaystyle \operatorname {Im} (A(t)z)\in {\bar {V}}}$, если ${\displaystyle \operatorname {Im} z\in V}$, где ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$. Следовательно, матрица ${\displaystyle A(t)}$ вещественная при произвольном ${\displaystyle t}$ и не зависит от ${\displaystyle t}$, поскольку биголоморфная функция только с вещественными значениями постоянна. Доказательство заканчивается изучением обратного преобразования. Свойство 2. Любая компонента вектора : ${\displaystyle a(u,\,t)}$ есть многочлен от ${\displaystyle u}$ не выше степени 2 с коэффициентами, которые могут зависеть от ${\displaystyle t}$[29]. Рассмотрим квазилинейное преобразование ${\displaystyle \psi }$ вида ${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}}$ Сконструируем семейство автоморфизмов ${\displaystyle \psi _{\lambda }=\psi _{\lambda }^{-1}\varphi \psi _{\lambda }}$, которое имеет следующий вид: ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}}$ Можно доказать, что последовательность голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle \psi _{\lambda }}$ компактна при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, рассматривая автоморфизм ${\displaystyle \psi _{\lambda }}$ в точке ${\displaystyle (z,\,0,\,t)}$. Из вида автоморфизмов ${\displaystyle \psi _{\lambda }}$ следует, что их последовательность компактна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a(u,\,t)}$ есть многочлен от ${\displaystyle u}$ не выше степени 2. Свойство 3. Наряду с квазилинейным преобразованием ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}}$ следующее преобразование ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t)\end{cases}}}$ есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$, где ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)}$ — множество членов степени 2 в многочлене ${\displaystyle a(u,\,t)}$[29]. При доказательстве свойства 2 показано, что последовательность автоморфизмов ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t)\end{cases}}}$ компактна при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, а из формы записи этой последовательности автоморфизмов следует, что они сходятся при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ к преобразованию ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t).\end{cases}}}$ Свойство 4. Рассмотрим точку ${\displaystyle t_{0}\in {\mathcal {D}}}$. Пусть ${\displaystyle \operatorname {Re} a(0,\,t_{0})=0}$ и ${\displaystyle b(t_{0})=0}$, тогда ${\displaystyle a(u,\,t)}$ включает по ${\displaystyle u}$ только члены степени 2[6]. ${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})\in D(V,\,{\mathcal {D}})}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {Im} z\in V}$. Поэтому если ${\displaystyle y\in V}$, то ${\displaystyle y+\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in V}$, следовательно, ${\displaystyle \operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in {\bar {V}}}$. Оперируя с обратным преобразованием, можно показать, что также и ${\displaystyle -\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in {\bar {V}}}$. Поскольку конус ${\displaystyle V}$ лежит в положительном ортанте ${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,}$ то ${\displaystyle \operatorname {Im} a(0,\,t_{0})=0}$, и ${\displaystyle a(0,\,t_{0})=0}$. Итак, получается что последовательность голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}}$ компактна при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, так как последовательность образов точки вида ${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})}$ компактна. Но компактность последовательности таких автоморфизмов при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ осуществима только тогда, тогда ${\displaystyle a(u,\,t)}$ не имеет по ${\displaystyle u}$ членов степени 0 и 1. Свойство 5. Квазилинейное преобразование при ${\displaystyle A=E}$, ${\displaystyle B(t)\equiv E}$, ${\displaystyle g(t)\equiv t}$ есть параллельный перенос области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$[6], другими словами, это преобразование состоит в группе ${\displaystyle \Delta }$[6]. Достаточно показать, что если при некотором ${\displaystyle t_{0}\in {\mathcal {D}}}$ для квазилинейного преобразования области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to u+b(t),\\t\to t\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} a(0,\,t_{0})=0}$ и ${\displaystyle b(t_{0})=0}$, то оно тождественно. ${\displaystyle a(0,\,t_{0})=0}$ вытекает из свойства 4, поэтому имеем неподвижную точку ${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})}$ для предложенного преобразования. Также из свойства 4 вытекает, что матрица Якоби предложенного преобразования в точке вида ${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})}$ совпадает с матрицей Якоби тождественного преобразования. Отсюда заключаем, что предложенное преобразование области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to u+b(t),\\t\to t\end{cases}}}$ — тождественное, другими словами, ${\displaystyle a(u,\,t)\equiv 0}$, ${\displaystyle \quad b(t)\equiv 0}$. Свойство 6. Рассмотрим преобразование ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$ где ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)}$ — однородная форма степени 2 по ${\displaystyle u}$. Это преобразование есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)}$ для произвольных ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$, причём ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)\equiv 0}$[25]. Трансформируя следующее исходное преобразование ${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$ где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор, при помощи данного в условии преобразования ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$ получим новое преобразование, которое сохраняет вид исходного согласно свойству 5, следовательно, ${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v).}$ Обратно, из последнего равенства непосредственно вытекает, что преобразование ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$ есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$. Наконец, композиция преобразования ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$ и преобразования. обратного к ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$ есть автоморфизм из группы ${\displaystyle \Delta }$, значит, ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)\equiv 0}$. Аналитическая однородность области Зигеля третьего рода Рассмотрим несколько достаточных условий аналитической однородности области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$[30]. Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — множество всех линейных преобразований ${\displaystyle y\to Ay}$ конуса ${\displaystyle V}$ на себя, таких, что каждое имеет биголоморфную в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричную функцию ${\displaystyle B(t)}$, что ${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)}$ для произвольных ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$[30]. И пусть ${\displaystyle G}$ — множество всех голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle g(t)}$ области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, таких, что каждое имеет[30]: биголоморфную в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричную функцию ${\displaystyle B(t)}$; симметричную билинейную векторную форму ${\displaystyle K_{t}(u,\,v)}$ от пары векторов ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, аналитически зависящую от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$, причём выражение ${\displaystyle K_{t}(u,\,u)+L_{g(t)}(B(t)u,\,B(t)u)-L_{t}(u,\,u)}$[комм 1] чисто мнимое для произвольных ${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$. Теорема 1. Область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ аналитически однородна при двух условиях[30]: группа ${\displaystyle \Omega }$ транзитивна в конусе ${\displaystyle V}$; группа ${\displaystyle G}$ транзитивна в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Непосредственно устанавливается, что следующие два преобразования суть голоморфные автоморфизмы область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$: ${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}z\to z-iK_{t}(u,\,u),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t).\\\end{cases}}}$ Примечания Комментарии 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Исправленная опечатка в источнике. Источники 1 2 3 4 5 6 Винберг Э. Б. Зигеля область, 1979. 1 2 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Введение, с. 10. Siegel C. L. Einfhrung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades, 1939. Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Глава 1. Области Зигеля, с. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 23. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 15. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций, 1956, § 2. Представление функции, гармонической в полуплоскости, с. 299. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 19. 1 2 3 4 5 6 7 8 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 18. Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 20. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 20. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 21. Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 21—23. 1 2 3 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 25. 1 2 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 26. 1 2 3 4 5 6 7 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 26. 1 2 3 4 5 6 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 28. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 29. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 33. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 30. Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. Т. 2, 1963, § 20. Множества голоморфных отображений, с. 340. Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. Т. 2, 1963, § 20. Множества голоморфных отображений, с. 339. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 31. 1 2 3 4 5 Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 34. Литература Винберг Э. Б. Зигеля область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 455—456. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 632 с., ил. Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз. Фукс Б. А.. Теория аналитических функций многих комплексных переменных (рус.). Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 2. — 427 с. — 8500 экз. Jacques Faraut, Soji Kaneyuki, dm Kornyi[англ.], Qi-keng Lu, Guy Roos. Analysis and geometry on complex homogeneous domains (англ.). — New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2000. — XII+540 p. — (Progress in mathematics (Boston, Mass.); v. 185). — ISBN 1-58488-448-7. — ISBN 978-1-4612-1366-6 (eBook). — doi:10.1007/978-1-4612-1366-6. Soji Kaneyuki. Homogeneous Bounded Domains and Siegel Domains (англ.) / adviser: E. Vesentini[англ.]. — Berlin · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1971. — V+89 p. — (Scuola Normale Supenore, Plsa). — ISBN 3-540-05702-1. — ISBN 0-387-05702-1. Siegel C. L. Einfhrung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1939. — Bd. 116. — P. 617—657. Nikolaj Tschebotareff. ber die Realitt Nullstellen ganzer transzendenter Funktionen (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1928. — Bd. 99. — P. 660—656.