Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.
Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.
Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.
Содержание
История
Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.
Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника большой стодвадцатиячейник[англ.], большой звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.], великий шестистотячейник[англ.] и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.
Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Bercksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflchigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.
Построение
Существование правильного 4-мерного многогранника ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников , которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол
чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.
Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.
Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.
Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.
Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных ячеек[англ.], которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.
Свойства
Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.
| Имена |
Рисунок |
Семейство |
Шлефли
Коксетер |
Вершин |
Рёбра |
Грани |
Ячейки[англ.] |
Верш.
фигура |
Двой-
ственный
|
Группа симметрии
|
пятиячейник
пятигранник
4-симплекс |
|
n-симплекс
(Семейство An) |
{3,3,3}
|
5 |
10 |
10
{3} |
5
{3,3} |
{3,3} |
(самодвой-
ственный) |
A4
[3,3,3] |
120
|
восьмиячейник
тессеракт
4-куб |
|
n-куб
(Семейство Bn) |
{4,3,3}
|
16 |
32 |
24
{4} |
8
{4,3} |
{3,3} |
16-ячейник |
B4
[4,3,3] |
384
|
шестнадцатиячейник
4-ортоплекс |
|
n-ортоплекс
(Семейство Bn) |
{3,3,4}
|
8 |
24 |
32
{3} |
16
{3,3} |
{3,4} |
8-ячейник |
B4
[4,3,3] |
384
|
двадцатичетырёхъячейник
октаплекс
полиоктаэдр (pO) |
|
Семейство Fn |
{3,4,3}
|
24 |
96 |
96
{3} |
24
{3,4} |
{4,3} |
(самодвой-
ственный) |
F4
[3,4,3] |
1152
|
стодвадцатиячейник
додекаконтихорон
додекаплекс
полидодекаэдр (pD) |
|
n-пятиугольный многогранник
(Семейство Hn) |
{5,3,3}
|
600 |
1200 |
720
{5} |
120
{5,3} |
{3,3} |
600-ячейник |
H4
[5,3,3] |
14400
|
шестисотъячейник
тетраплекс
политетраэдр (pT) |
|
n-пятиугольный многогранник
(Семейство Hn) |
{3,3,5}
|
120 |
720 |
1200
{3} |
600
{3,3} |
{3,5} |
120-ячейник |
H4
[5,3,3] |
14400
|
Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) [1].
Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон.[2][3][4]
Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:
где Nk означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).
Визуализация
Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.
| A4 = [3,3,3] |
BC4 = [4,3,3] |
F4 = [3,4,3] |
H4 = [5,3,3]
|
| Пятиячейник |
8-ячейник |
16-ячейник |
24-ячейник |
120-ячейник |
600-ячейник
|
| {3,3,3} |
{4,3,3} |
{3,3,4} |
{3,4,3} |
{5,3,3} |
{3,3,5}
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3-мерные ортографические проекции
|
тетраэдральная
оболочка
(центрировано по ячейке/вершине)
|
кубическая
оболочка
(центрировано по ячейке)
|
кубическая
оболочка
(центрировано по ячейке)
|
кубооктаэдральная
оболочка
(центрировано по ячейке)
|
Усечённый
ромбический
ромботриаконтаэдр[англ.]
(центрировано по ячейке)
|
пентакиикоси-
додекаэдральная оболочка[англ.]
(центрировано по ячейке)
|
| Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция)
|
центрировано по ячейке
|
центрировано по ячейке
|
центрировано по ячейке
|
центрировано по ячейке
|
центрировано по ячейке
|
центрировано по вершине
|
| Каркасы стереографических проекций (3-сфера)
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)
Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников [5]. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.
Имена
Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:
- stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
- greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
- aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в великий 600-ячейник[англ.])
Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.]) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.
Симметрия
Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H4) гексакосихорную симметрию[англ.]. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].
Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.
Свойства
Примечание:
Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные рёберные фигуры[англ.] и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.
Название
Аббревиатура
Конвея
|
Ортогональная
проекция
|
Шлефли
Коксетер
|
Ячейки[англ.]
{p, q}
|
Грани
{p}
|
Рёбра
{r}
|
Вершины
{q, r}
|
Плот-
ность[англ.]
|
|
Икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.]
полиикосаэдр (pI)
|
|
{3,5,5/2}
|
120
{3,5}
|
1200
{3}
|
720
{5/2}
|
120
{5,5/2}
|
4
|
480
|
Малый звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.]
звёздчатый
полидодекаэдр
(spD)
|
|
{5/2,5,3}
|
120
{5/2,5}
|
720
{5/2}
|
1200
{3}
|
120
{5,3}
|
4
|
480
|
Большой стодвадцатиячейник[англ.]
большой
полидодекаэдр
(gpD)
|
|
{5,5/2,5}
|
120
{5,5/2}
|
720
{5}
|
720
{5}
|
120
{5/2,5}
|
6
|
0
|
Великий стодвадцатиячейник[англ.]
великий
полидодекаэдр (apD)
|
|
{5,3,5/2}
|
120
{5,3}
|
720
{5}
|
720
{5/2}
|
120
{3,5/2}
|
20
|
0
|
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.]
большой звёздчатый
полидодекаэдр (gspD)
|
|
{5/2,3,5}
|
120
{5/2,3}
|
720
{5/2}
|
720
{5}
|
120
{3,5}
|
20
|
0
|
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.]
большой звёздчатый
полидодекаэдр
(aspD)
|
|
{5/2,5,5/2}
|
120
{5/2,5}
|
720
{5/2}
|
720
{5/2}
|
120
{5,5/2}
|
66
|
0
|
Большой великий стодвадцатиячейник[англ.]
большой великий полидодекаэдр (gapD)
|
|
{5,5/2,3}
|
120
{5,5/2}
|
720
{5}
|
1200
{3}
|
120
{5/2,3}
|
76
|
480
|
Большой икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.]
большой
полиикосаэдр
(gpI)
|
|
{3,5/2,5}
|
120
{3,5/2}
|
1200
{3}
|
720
{5}
|
120
{5/2,5}
|
76
|
480
|
Великий шестисотъячейник[англ.]
великий
политетраэдр
(apT)
|
|
{3,3,5/2}
|
600
{3,3}
|
1200
{3}
|
720
{5/2}
|
120
{3,5/2}
|
191
|
0
|
Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник
большой великий звёздчаты
полидодекаэдр
(gaspD)
|
|
{5/2,3,3}
|
120
{5/2,3}
|
720
{5/2}
|
1200
{3}
|
600
{3,3}
|
191
|
0
|
См. также- Правильные многомерные многогранники
- Список правильных многогранников и соединений
- Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
- Правильные евклидовы соты: {4,3,4}
- Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
- Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
- Семейства однородных четырёхмерных многогранников[англ.], построенные на основе этих 6 правильных форм.
- Платоновы тела
- Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники
- Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники
Примечания
- Conway, 2008.
- Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов ("много") и ("пространство", "помещение")
- "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005 . Дата обращения: 23 февраля 2016. Архивировано 29 ноября 2014 года.
- Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
- Coxeter, Star polytopes and the Schlfli function f(,,) p. 122 2. The Schlfli-Hess polytopes
Литература
Ссылки
|
|
