Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Нотация Конвея для многогранников
Материал из https://ru.wikipedia.org

Нотация Конвея для многогранников, разработанная Конвеем и продвигаемая Хартом[англ.], используется для описания многогранников, опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс-операциями.

Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation (усечения), определённого Кеплером, чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, tC представляет усечённый куб, а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром. Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC=O. Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.

Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками, представляются первой буквой в их (английском) названии (Tetrahedron = тетраэдр, Octahedron = октаэдр, Cube = куб, Icosahedron = икосаэдр, Dodecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы (Pn – от prism для n-угольных призм), антипризмы (An – от Antiprisms), купола (Un – от cupolae), антикупола (Vn) и пирамиды (Yn – от pyramid). Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как Jn (от Johnson solids = тела Джонсона) для n=1...92.

В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa=e, в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta=b. Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически.

Содержание

Операции на многогранниках

Элементы таблицы даны для затравки с параметрами (v,e,f) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.

Специальные виды
Операция «kis» имеет вариант kn, в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n-сторонами.
Операция усечения имеет вариант tn, в этом случае усекаются только вершины порядка n.


Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC, а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC.

Оператор хиральности
  • r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g. Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например, s = rs.


Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам.
Базовые операции
Оператор Пример Название Альтернативное
построение		 вершины рёбра грани Описание
Затравка v e f Исходный многогранник
r reflect v e f Зеркальный образ для хиральных форм
d dual f e v Двойственный многогранник для затравки – каждая вершина создаёт новую грань
a ambo dj
djd		 e 2e f+v Новые вершины добавляются в середине рёбер, а старые вершины отрезаются (rectify)
Операция создаёт вершины с валентностью 4.
j join da
dad		 v+f 2e e К затравке добавляются пирамиды с достаточной высотой, так что два треугольника, принадлежащие разным пирамидам и имеющие общую сторону затравки, становятся копланарными (лежащими на одной плоскости) и образуют новую грань.
Операция создаёт квадратные грани.
k
kn		 kis nd = dz
dtd		 v+f 3e 2e На каждой грани добавляется пирамида.
Акизация или кумуляция,[1] увеличение или пирамидальное расширение.
t
tn		 truncate nd = dz
dkd		 2e 3e v+f Отсекает все вершины.
Операция является сопряжённой с kis
n needle kd = dt
dzd		 v+f 3e 2e Двойственный многогранник к усечённой затравке. Грани триангулируются с двумя треугольниками для каждого ребра. Это делит пополам грани через все вершины и рёбра, удаляя при этом исходные рёбра.
Операция преобразует геодезический многогранник[англ.] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b.
Она также преобразует (a,0) в (a,a), (a,a) в (3a,0), (2,1) в (4,1), и т.д.
z zip dk = td
dnd		 2e 3e v+f Двойственный многогранник к затравке после операции kis или усечение двойственного многогранника. Операция создаёт новые рёбра, перпендикулярные исходным рёбрам. Операция также называется bitruncation (глубоким усечением[англ.]).
Эта операция преобразует многогранник Голдберга[англ.] G(a,b) в G(a+2b,a-b) для a>b.
Она также преобразует G(a,0) в G(a,a), G(a,a) в G(3a,0), G(2,1) в G(4,1) и т.д.
e expand
(растяжение) 		aa
dod = do		 2e 4e v+e+f Каждая вершина создаёт новую грань, а каждое ребро создаёт новый четырёхугольник. (cantellate = скашивание)
o ortho daa
ded = de		 v+e+f 4e 2e Каждая n-угольная грань делится на n четырёхугольников.
g
rg=g		 gyro dsd = ds v+2e+f 5e 2e Каждая n-угольная грань делится на n пятиугольников.
s
rs=s		 snub dgd = dg 2e 5e v+2e+f «расширение и кручение» – каждая вершина образует новую грань, а каждое ребро образует два новых треугольника
b bevel dkda = ta
dmd = dm		 4e 6e v+e+f Новые грани добавляются вместо рёбер и вершин. (cantitruncation = скос-усечение[англ.])
m meta
medial 		kda = kj
dbd = db		 v+e+f 6e 4e Триангуляция с добавлением вершин в центрах граней и рёбер.


Образование правильных затравок

Все пять правильных многогранников могут быть получены из призматических генераторов, используя от нуля до двух операторов:

Правильная евклидова мозаика может также быть использована в качестве затравки:

Примеры

Куб может образовать все выпуклые однородные многогранники с октаэдральной симметрией. В первой строке показаны архимедовы тела, а во второй — каталановы тела. Вторая строка образуется как двойственные многогранники к многогранникам первой строки. Если сравнивать каждый новый многогранник с кубом, можно понять визуально проведённые операции.
Куб
«затравка»		 ambo truncate zip expand bevel snub

C
dO
aC
aO
tC
zO
zC = dkC
tO
aaC = eC
eO
bC = taC
taO
sC
sO
dual join needle kis ortho medial gyro

dC
O
jC
jO
dtC = kdC
kO
kC
dtO
oC
oO
dtaC = mC
mO
gC
gO


Усечённый икосаэдр, tI или zD, являющийся многогранником Голдберга[англ.] G(2,0), создаёт дополнительные многогранники, которые ни вершинно-, ни гранетранзитивны.
Усечённый икосаэдр в качестве затравки
«затравка» ambo truncate zip extension bevel snub

zD
tI Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
azI
atI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
tzD
ttI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
tdzD
tdtI Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
aazD = ezD
aatI = etI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
bzD
btI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
szD
stI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
dual join needle kis ortho medial gyro

dzD
dtI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
jzD
jtI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
kdzD
kdtI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
kzD
ktI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
ozD
otI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
mzD
mtI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
gzD
gtI Архивная копия от 1 февраля 2017 на Wayback Machine


Геометрические координаты производных форм

В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет, эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.
Пример: Затравка в виде додекаэдра как сферическая мозаика

D
tD
aD
zD = dkD
eD
bD = taD
sD

dD
nD = dtD
jD = daD
kD = dtdD
oD = deD
mD = dtaD
gD
Пример: Затравка в виде евклидовой шестиугольной мозаики (H)

H
tH?!
aH
tdH = H
eH[англ.]
bH[англ.] = taH
sH

dH
nH = dtH
jH = daH
dtdH = kH
oH[англ.] = deH
mH = dtaH
gH = dsH


Производные операции

Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.
Оператор(ы) d a
j		 k, t
n, z		 e
o		 g
s		 a&k a&e k&k k&e
k&a2		 e&e
рёберный мультипликатор 1 2 3 4 5 6 8 9 12 16
Уникальных производных операторов 8 2 8 10 2


Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам.
Производные операции
Оператор Пример Название Альтернативное
построение		 вершины рёбра грани Описание
Затравка v e f Исходный многогранник
at akd
 3e 6e v+2e+f Операция ambo после truncate
jk dak v+2e+f 6e 3e Операция join после kis. Подобна ortho, за исключением того, что новые квадратные грани вставляются на место исходных рёбер
ak dajd 3e 6e v+2e+f Операция ambo после kis. Подобна expand, за исключением того, что новые вершины добавляются на исходные рёбра, образуя два треугольника.
jt dakd = dat v+2e+f 6e 3e Операция join после truncate. Двойственный многогранник к полученному после операций truncate, затем ambo
tj dka 4e 6e v+e+f truncate join
ka v+e+f 6e 4e kis ambo
ea or ae aaa 4e 8e v+3e+f расширенная операция ambo, тройная операция ambo
oa or je daaa = jjj v+3e+f 8e 4e Операция ortho после ambo, тройная операция join
x=kt exalt kdkd
dtkd		 v+e+f 9e 7e Операции kis truncate, триангуляция, деление рёбер на 3 части и добавление новых вершин в центр исходных граней.
Операция преобразует геодезический многогранник[англ.] (a,b) в (3a,3b).
y=tk yank dkdk
dktd		 v+e+f 9e 7e Операции truncate kis, расширение шестиугольниками вокруг каждого ребра
Операция преобразует многогранник Голдберга[англ.] G(a,b) в G(3a,3b).
nk kdk = dtk = ktd 7e 9e v+e+f needled kis
tn dkdkd = dkt = tkd 7e 9e v+e+f truncate needle
tt dkkd 7e 9e v+e+f двойная операция truncate
kk dttd v+2e+f 9e 6e двойная операция kis
nt kkd = dtt v+e+f 9e 7e needle truncate
tz dkk = ttd 6e 9e v+2e+f truncate zip
ke kaa v+3e+f 12e 8e Kis expand
to dkaa 8e 12e v+3e+f truncate ortho
ek aak 6e 12e v+5e+f expand kis
ok daak = dek v+5e+f 12e 6e ortho kis
et aadkd 6e 12e v+5e+f расширенная операция truncate
ot daadkd = det v+5e+f 12e 6e ortho truncate
te or ba dkdaa 8e 12e v+3e+f truncate expand
ko or ma kdaa = dte
ma = mj		 v+3e+f 12e 8e kis ortho
ab or am aka = ata 6e 12e v+5e+f ambo bevel
jb or jm daka = data v+5e+f 12e 6e joined bevel
ee aaaa v+7e+f 16e 8e double-expand
oo daaaa = dee 8e 16e v+7e+f double-ortho


Хиральные производные операции

Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.
Оператор(ы) d a k e g a&g k&g e&g g&g
мультипликатор рёбер 1 2 3 4 5 10 15 20 25
Уникальных производных операторов 4 8 4 2
Хиральные порождённые операции
Оператор Пример Название Построение вершин рёбер граней Описание
Затравка v e f Исходный многогранник
ag as
djsd = djs		 v+4e+f 10e 5e ambo gyro
jg dag = js
dasd = das		 5e 10e v+4e+f joined gyro
ga gj
dsjd = dsj		 v+5e+f 10e 4e gyro ambo
sa dga = sj
dgjd = dgj		 4e 10e v+5e+f snub ambo
kg dtsd = dts v+4e+f 15e 10e kis gyro
ts dkgd = dkg 10e 15e v+4e+f truncated snub
gk dstd v+8e+f 15e 6e gyro kis
st dgkd 6e 15e v+8e+f snub truncation
sk dgtd v+8e+f 15e 6e snub kis
gt dskd 6e 15e v+8e+f gyro truncation
ks kdg
dtgd = dtg		 v+4e+f 15e 10e kis snub
tg dkdg
dksd		 10e 15e v+4e+f truncated gyro
eg es
aag		 v+9e+f 20e 10e expanded gyro
og os
daagd = daag		 10e 20e v+9e+f expanded snub
ge go
gaa		 v+11e+f 20e 8e gyro expand
se so
dgaad = dgaa		 8e 20e v+11e+f snub expand
gg gs
dssd = dss		 v+14e+f 25e 10e double-gyro
ss sg
dggd = dgg
 10e 25e v+14e+f double-snub


Расширенные операторы

Эти расширенные операторы нельзя создать в общем виде с помощью выше перечисленных базовых операций. Некоторые операторы могут быть созданы как частные случаи с k и t операторами, но применённые к определённым граням и вершинам. Например, куб со снятой фаской, cC, может быть построен как t4daC, как ромбододекаэдр, daC или jC с усечёнными вершинами валентности 4. Поднятый куб lC — это то же самое, что t4kC, квинтододекаэдр qD можно построить как t5daaD, t5deD или t5oD, a дельтоидальный гексеконтаэдр можно построить как deD или oD с усечением вершин с валентностью 5.

Некоторые расширенные операторы образуют последовательность и даны с последующим числом. Например, ortho делит квадратную грань на 4 квадрата, а o3 может делить на 9 квадратов. o3 является уникальным построением, в то время как o4 можно получить как oo, оператор ortho, применённый дважды. Оператор loft может включать индекс подобно оператору kis, чтобы ограничить применение на грани с указанным числом сторон.

Операция chamfer (снятие фаски) создаёт многогранник Голдберга[англ.] G(2,0) с новыми шестиугольниками между исходными гранями. Последовательные операции chamfer создают G(2n,0).
Расширенные операции
Оператор Пример Название Альтернативное
построение		 вершин рёбер граней Описание
Затравка v e f Исходный многогранник
c (от chamfer) chamfer dud v + 2e  4e f + e Усечение рёбер.
Вместо рёбер вставляются новые шестиугольные грани.
Многогранник Голдберга[англ.] (0,2)
- - dc f + e 4e v + 2e Операция dual после chamfer
u subdivide dcd v+e 4e f+2e Операция ambo, пока сохраняются исходные вершины
Операция аналогична схеме Лупа подразделения поверхности[англ.] для треугольных граней
- cd f+2e 4e v+e Операция dual после subdivide
l
ln		 loft v+2e  5e f+2e Расширение каждой грани призмой, добавление меньшей копии каждой грани с трапециями между внутренней и внешней гранью.
dl
dln		 f+2e  5e v+2e Операция dual после loft
ld
lnd		 f+2e  5e v+2e Операция loft после dual
dld
dlnd		 v+2e  5e f+2e Операция, сопряжённая с loft
dL0 f+3e 6e v+2e Операция dual после joined-lace
L0d f+2e 6e v+3e Операция joined-lace после dual
dL0d v+3e 6e f+2e Операция, сопряжённая с joined-lace
q quinto v+3e 6e f+2e Операция ortho с последующим усечением вершин, находящихся в центре исходных граней.
Операция создаёт 2 новых пятиугольника для каждого исходного ребра.
- dq f+2e 6e v+3e Операция dual после quinto
qd v+2e 6e f+3e Операция quinto после dual
- dqd f+3e 6e v+2e Операция, сопряжённая с quinto
L0 joined-lace v+2e 6e f+3e Аналогична операции lace, но с новыми четырёхугольными гранями на месте исходных рёбер
L
Ln		 Lace v+2e 7e f+4e Расширение каждой грани антипризмой, добавление повёрнутой меньшей копии каждой грани с треугольниками между старой и новой гранями.
Индекс может быть добавлен для ограничения операции на грани с указанным числом сторон.
dL
dLn		 f+4e 7e v+2e Оператор dual после laced
Ld
Ldn		 f+2e 7e v+4e Оператор lace после dual
dLd
dLnd		 v+4e 7e f+2e Последовательность операций dual, lace, dual
K
Kn		 staKe v+2e+f 7e 4e Подразделение граней с центральными чётырёхугольниками и треугольниками.
Может быть добавлен индекс для ограничения операции на грани с определённым числом сторон.
dK
dKn		 4e 7e v+2e+f Операция dual после stake
Kd v+2e+f 7e 4e Операция stake после dual
dKd 4e 7e v+2e+f Операция, сопряжённая со stake
M3 edge-medial-3 v+2e+f 7e 4e Операция подобна m3, но не добавляются диагональные рёбра
dM3 4e 7e v+2e+f Операция dual после edge-medial-3
M3d v+2e+f 7e 4e Операция edge-medial-3 после dual
dM3d 4e 7e v+2e+f Операция, сопряжённая с edge-medial-3
M0 joined-medial v+2e+f 8e 5e Операция подобна medial, но с добавлением ромбических граней на месте исходных рёбер.
dM0 v+2e+f 8e 5e Операция dual после joined-medial
M0d v+2e+f 8e 5e Операция joined-medial после dual
dM0d 5e 8e v+2e+f Операция, сопряжённая с joined-medial
m3 medial-3 v+2e+f 9e 7e Триангуляция с добавлением двух вершин на каждое ребро и одной вершины в центре каждой грани.
b3 bevel-3 dm3 7e 9e v+2e+f Операция dual после medial-3
m3d 7e 9e v+2e+f Операция medial-3 после dual
dm3d v+2e+f 9e 7e Операция, сопряжённая с medial-3
o3 ortho-3 de3 v+4e 9e f+4e Оператор ortho с делением рёбер на 3
e3 expand-3 do3 f+4e 9e v+4e Оператор expand с делением рёбер на 3
X cross v+f+3e 10e 6e Комбинация операций kis и subdivide. Исходные рёбра делятся пополам и образуются треугольные и четырёхугольные грани.
dX 6e 10e v+f+3e Операция dual после cross
Xd 6e 10e v+f+3e Операция cross после dual
dXd v+f+3e 10e 6e Операция, сопряжённая с cross
m4 medial-4 v+3e+f 12e 8e Триангуляция с добавлением 3 вершин на каждое ребро и вершины в центр каждой грани.
u5 subdivide-5 v+8e 25e f+16e Рёбра делятся на 5 частей
Этот оператор делит рёбра и грани так, что образуется 6 треугольников вокруг каждой новой вершины.


Расширенные хиральные операторы

Эти операторы нельзя создать в общем виде из перечисленных выше базовых операций. Художник-геометр Харт[англ.] создал операцию, которую он назвал пропеллер.
  • p – «propeller» = пропеллер (оператор вращения, создающий четырёхугольники на месте вершин). Эта операция самодвойственна: dpX=pdX.
Расширенные хиральные операции
Оператор Пример Название Альтернативное
построение		 вершины рёбра грани Описание
«Затравка» v e f Исходный многогранник
p
rp=p		 propellor v + 2e 5e f + 2e Операция gyro, после которой выполняется ambo на вершинах в центрах исходных граней
- - dp = pd f + 2e 5e v + 2e Те же вершины, что и в gyro, но на месте исходных вершин образуются грани
- 4e 7e v+2e+f Операция подобна snub, но по периметру исходных граней идут пятиугольники, а не треугольники
- - - v+2e+f 7e 4e
w=w2=w2,1
rw=w		 whirl v+4e 7e f+2e Операция gyro с последующим усечением вершин в центре исходных граней.
Операция создаёт 2 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[англ.] (2,1)
Производный оператор wrw преобразует G(a,b) в G(7a,7b).
v
rv=v		 volute dwd f+2e 7e v+4e Оператор dual после whirl, или snub с последующей операцией kis на исходных гранях.
Полученный оператор vrv преобразует геодезический многогранник (a,b) в (7a,7b).
g3
rg3=g3		 gyro-3 v+6e 11e f+4e Операция gyro создаёт 3 пятиугольника вдоль каждого исходного ребра
s3
rs3=s3		 snub-3 dg3d = dg3 f+4e 11e v+6e Операция dual после gyro-3, операция snub, делящая рёбра на 4 срединных треугольника и с треугольниками на месте исходных вершин
w3,1
rw3,1=w3,1		 whirl-3,1 v+8e 13e f+4e Операция создаёт 4 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[англ.] (3,1)
w3=w3,2
rw3=w3		 whirl-3,2 v+12e 19e f+6e Операция создаёт 12 новых шестиугольников для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[англ.] (3,2)


Операции, сохраняющие исходные рёбра

Эти операции расширения оставляют исходные рёбра и позволяют применять оператор к любому независимому подмножеству граней. Нотация Конвея поддерживает дополнительный индекс для этих операций, указывающий число сторон у вовлечённых в операцию граней.
Оператор kis cup acup loft lace stake kis-kis
Пример kC UC VC lC LC KC kkC
Рёбра 3e 4e-f4 5e-f4 5e 6e 7e 9e
Изображение
на кубе
Расширение Пирамида Купол Антикупол Призма Антипризма


Операторы Коксетера

Операторы Коксетера/Джонсона[англ.] иногда полезны при смешении с операторами Конвея. Для ясности в нотации Конвея эти операции даны заглавными буквами. t-Нотация Коксетера определяет активные кружки как индексы диаграммы Коксетера — Дынкина. Таким образом, в таблице заглавная T с индексами 0,1,2 определяет однородные операторы из правильной затравки. Нулевой индекс представляет вершины, 1 представляет рёбра, а 2 представляет грани. При T = T0,1 это будет обычным усечением, а R = T1 является полным усечением, или операцией rectify, то же самое, что и оператор Конвея ambo. Например, r{4,3} или t1{4,3} является именем Коксетера для кубооктаэдра, а полноусечённый куб — это RC, то же самое, что ambo куб Конвея, aC.
Расширенные операции Коксетера
Оператор Пример Название Альтернативное
построение		 вершины рёбра грани Описание
T0 , t0{4,3} «Затравка» v e f Seed form
R = T1 , t1{4,3} rectify a e 2e f+v То же самое, что ambo, новые вершины добавляются в середине рёбер, а новые грани заменяют исходные вершины.
Все вершины имеют валентность 4.
T2 , t2{4,3} dual
birectify 		d f e v Операция dual для затравочного многогранника — каждая вершина создаёт новую грань
T = T0,1 , t0,1{4,3} truncate t 2e 3e v+f Отсекаются все вершины.
T1,2 , t1,2{4,3} bitruncate[англ.] z = td 2e 3e v+f То же самое, что и zip
RR = T0,2 , t0,2{4,3} cantellate aa=e 2e 4e v+e+f То же самое, что и expand
TR = T0,1,2 , t0,1,2{4,3} cantitruncate[англ.] ta 4e 6e v+e+f То же самое, что и bevel


Полуоператоры

Оператор semi или demi Коксетера, H (от Half), уменьшает число сторон каждой грани вдвое, а четырёхугольные грани в двуугольники с двумя рёбрами, соединяющими две вершины, и эти два ребра могут быть заменены или не заменены одним ребром. Например, половинка куба, h{4,3}, полукуб, — это HC, представляющий один из двух тетраэдров. Ho сокращает ortho в ambo/Rectify.

Другие semi-операторы (полуоператоры) можно определить с использованием оператора H. Конвей называет оператор Snub (плосконосое усечение) Коксетера S, semi-snub (полуплосконосым усечением), определённым как Ht. Оператор snub s Конвея определяется как SR. Например, SRC — это плосконосый куб, sr{4,3}. Плосконосый октаэдр Коксетера, s{3,4} можно определить как SO, построение пиритоэдральной симметрии для правильного икосаэдра. Это также согласуется с определением правильной плосконосой квадратной антипризмой как SA4.

Оператор semi-gyro, G, определяется как dHt. Это позволяет определить оператор поворачивания Конвея g (gyro) как GR. Например, GRC — это gyro-куб, gC, или пентагональный икоситетраэдр. GO определяет пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией, в то время как gT (gyro tetrahedron, гиротетраэдр) определяет тот же самый топологический многогранник с тетраэдральной симметрией.

Оба оператора S и G требуют, чтобы затравочный многогранник имел вершины чётной валентности. Во всех этих полуоператорах имеется два выбора для альтернации вершин для оператора half. Эти две конструкции в общем случае топологически не тождественны. Например, HjC определяет либо куб, либо октаэдр, в зависимости от того, какой набор вершин выбирается.

Другие операторы применимы только к многогранникам с гранями, имеющими чётное число рёбер. Простейшим оператором является semi-join, который является сопряжённым с оператором half, dHd.

Оператор semi-ortho, F, сопряжён с semi-snub. Он добавляет вершину в центр грани и делит пополам все рёбра, но соединяет новыми рёбрами центр только с половиной рёбер, создавая тем самым новые шестиугольные грани. Исходные квадратные грани не требуют наличия центральной вершины, а требует только одно ребро через грань, создающее пару пятиугольников. Например, двенадцатигранник тетартоид может быть построен как FC.

Оператор semi-expand, E, определяется как Htd или Hz. Оператор создаёт треугольные грани. Например, EC создаёт построение с пироэдральной симметрией псевдоикосаэдра[англ.].
Полуоператоры на многогранниках с гранями, имеющими чётное число сторон
Оператор Пример
(Затравка — куб)		 Название Альтернативное
построение		 вершин рёбер граней Описание
H = H1
H2		 semi-ambo
Half
1 и 2 		v/2 e-f4 f-f4+v/2 Альтернирование[англ.], удаление половины вершин.
Четырёхугольные грани (f4) редуцируются до одиночных рёбер.
I = I1
I2		 semi-truncate
1 и 2 		v/2+e 2e f+v/2 Усекает каждую вторую вершину
semi-needle
1 и 2 		dI v/2+f 2e e+v/2 Операция needle каждой второй вершины
F = F1
F2		 semi-ortho
Flex
1 и 2 		dHtd = dHz
dSd		 v+e+f-f4 3e-f4 e Операция dual после semi-expand — создаются новые вершины на рёбрах и в центрах граней, 2n-угольники делятся на n шестиугольников, четырёхугольные грани (f4) не будут содержать центральной вершины, так что образуется две пятиугольные грани.
E = E1
E2		 semi-expand
Eco
1 и 2		 Htd = Hz
dF = Sd
dGd		 e 3e-f4 v+e+f-f4 Операция dual после semi-ortho — создаются новые треугольные грани. Исходные грани заменяются многоугольниками с половиной сторон, четырёхугольники (f4) при этом редуцируются до одиночных рёбер.
U = U1
U2		 semi-lace
CUp
1 и 2		 v+e 4e-f4 2e+f-f4 Наращение граней куполами.
V = V1
V2		 semi-lace
Anticup
3 и 4		 v+e 5e-f4 3e+f-f4 Наращение граней антикуполами
semi-medial
1 и 2 		XdH = XJd v+e+f 5e 3e Поочерёдная операция medial относительно диагоналей
semi-medial
3 и 4 		v+e+f 5e 3e Поочерёдная операция medial относительно медиан (соединяющих середины противоположных сторон)
semi-bevel
1 и 2 		dXdH = dXJd 3e 5e v+e+f Поочерёдная операция bevel относительно диагоналей
semi-bevel
3 и 4 		3e 5e v+e+f Поочерёдная операция bevel относительно медиан
Полуоперации на многогранниках с вершинами чётной валентности
Оператор Пример
(Затравка — октаэдр)		 Название Альтернативное
построение		 вершин рёбер граней Описание
J = J1
J2		 semi-join
1 и 2 		dHd v-v4+f/2 e-v4 f/2 Оператор, сопряжённый с half, оператор join на чередующихся гранях.
4-валентные вершины (v4) редуцируются до 2-валентных и заменяются одним ребром.
semi-kis
1 и 2 		dId v+f/2 2e f/2+e Операция kis на половине (поочерёдно, не соприкасающихся по ребру) граней
semi-zip
1 и 2 		Id f/2+e 2e v+f/2 Операция zip на половине граней
S = S1
S2		 semi-snub
1 и 2		 Ht
dFd		 v-v4+e 3e-v4 f+e Операция dual после semi-gyro — операция snub, вращение исходных граней с добавлением новых треугольных граней в получающиеся зазоры.
G = G1
G2		 semi-gyro
1 и 2		 dHt
dS = Fd
dEd		 f+e 3e-v4 v-v4+e Операция dual после semi-snub — создаются пятиугольные и шестиугольные грани вдоль исходных рёбер.
semi-medial
1 и 2 		XdHd = XJ 3e 5e v+e+f Операция medial на половине (не соприкасающихся ребром) граней
semi-bevel
1 и 2 		dXdHd = dXJ v+e+f 5e 3e Операция bevel на половине (не соприкасающихся ребром) граней


Подразделения

Операция subdivision (подразделения) делит исходные рёбра на n новых рёбер, а внутренность граней заполняется треугольниками или другими многоугольниками.

Оператор ortho можно применить в серии степеней двойки четырёхугольных подразделений. Другие подразделения могут быть получены как результат факторизованных подразделений. Оператор propeller, применённый последовательно, даёт 5-орто подразделение. Если затравка имеет нечетырёхугольные грани, они остаются как уменьшенные копии для нечётных операторов ortho.
Примеры на кубе
Ortho o2=o o3 o4=o2 o5
=prp		 o6=oo3 o7 o8=o3 o9=o32 o10=oo5
=oprp
Пример
Вершины v v+e+f v+4e v+7e+f v+12e v+17e+f v+24e v+31e+f v+40e v+63e+f
Рёбра e 4e 9e 16e 25e 36e 49e 64e 81e 128e
Грани f 2e f+4e 8e f+12e 18e f+24e 32e f+40e 64e
Expand
(dual)		 e2=e e3 e4=e2 e5
=dprp		 e6=ee3 e7 e8=e3 e9=e32 e10=ee5
=doprp
Пример


Оператор whirl создаёт многогранник Голдберга[англ.] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины. Две последовательные операции whirls создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b и тем же самым хиральным направлением. Если хиральные направления обратны, G(a,b) превращается в G(2a+3b,a-2b) при a>=2b и в G(3a+b,2b-a) при a<2b.

Операторы whirl-n образуют многогранники Голдберга (n,n-1) и могут быть определены путём деления рёбер затравочного многогранника на 2n-1 подрёбер.

Результат операции whirl-n и ей обратной образует (3n2-3n+1,0) многогранник Голдберга[англ.]. wrw образует (7,0), w3rw3 образует (19,0), w4rw4 образует (37,0), w5rw5 образует (61,0), а w6rw6 образует (91,0). Результат двух операций whirl-n — это ((n-1)(3n-1),2n-1) или (3n2-4n+1,2n-1). Произведение wa на wb даёт (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), а wa на обратный wb даёт (3ab-a-2b+1,a-b) для ab.

Произведение двух идентичных операторов whirl-n образует многогранник Голдберга ((n-1)(3n-1),2n-1). Произведение k-whirl и zip — это (3k-2,1).
Операторы whirl-n
Название Затравка Whirl Whirl-3 Whirl-4 Whirl-5 Whirl-6 Whirl-7 Whirl-8 Whirl-9 Whirl-10 Whirl-11 Whirl-12 Whirl-13 Whirl-14 Whirl-15 Whirl-16 Whirl-17 Whirl-18 Whirl-19 Whirl-20 Whirl-n
Оператор
(Состоавной)		 - w=w2 w3 w4 w5 w6
wrw3,1		 w7 w8
w3,1w3,1		 w9
ww5,1		 w10 w11 w12 w13
ww7,2		 w14 w15 w16
ww9,2		 w17
w3w6,1		 w18 w19
w3,1w7,3		 w20
ww11,3		 wn
Многогранник Голдберга[англ.] (1,0) (2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (6,5) (7,6) (8,7) (9,8) (10,9) (11,10) (12,11) (13,12) (14,13) (15,14) (16,15) (17,16) (18,17) (19,18) (20,19) (n,n-1)
T
разложение 		1 7 19 37 61 91
713		 127 169
1313		 217
731		 271 331 397 469
767		 547 631 721
7103		 817
1943		 919 1027
1379		 1141
7163		 3n(n-1)+1
Пример
Вершина v v+4e v+12e v+24e v+40e v+60e v+84e v+112e v+144e v+180e v+220e v+264e v+312e v+364e v+420e v+480e v+544e v+612e v+684e v+760e v+2n(n-1)e
Рёбра e 7e 19e 37e 61e 91e 127e 169e 217e 271e 331e 397e 469e 547e 631e 721e 817e 919e 1027e 1141e e+3n(n-1)e
Грани f f+2e f+6e f+12e f+20e f+30e f+42e f+56e f+72e f+90e f+110e f+132e f+156e f+182e f+210e f+240e f+272e f+306e f+342e f+380e f+n(n-1)e
wnwn (1,0) (5,3) (16,5) (33,7) (56,9) (85,11) (120,13) (161,15) (208,17) (261,19) (320,21) (385,23) (456,25) (533,27) (616,29) (705,31) (800,33) (901,35) (1008,37) (1121,39) ((n-1)(3n-1),2n-1)
wnrwn (1,0) (7,0) (19,0) (37,0) (61,0) (91,0) (127,0) (169,0) (217,0) (271,0) (331,0) (397,0) (469,0) (547,0) (631,0) (721,0) (817,0) (919,0) (1027,0) (1141,0) (1+3n(n-1),0)
wnz (1,1) (4,1) (7,1) (10,1) (13,1) (16,1) (19,1) (22,1) (25,1) (28,1) (31,1) (34,1) (37,1) (40,1) (43,1) (46,1) (49,1) (52,1) (55,1) (58,1) (3n-2,1)


Операция un делит грани на треугольники путём деления каждого ребра на n частей, называемой n-частотным подразделением геодезического многогранника[англ.] Бакминстера Фуллера[2].

Операторы Конвея на многогранниках могут построить многие из этих подразделений.

Если все исходные грани являются треугольниками, новые многогранники будут также иметь все грани в виде треугольников, и на месте исходных граней создаются треугольные мозаики. Если исходные многогранники имеют грани с большим числом сторон, все новые грани не обязательно будут треугольниками. В таких случаях к многограннику сначала можно применить операцию kis с новыми вершинами в центре каждой грани.
Примеры подразделений на кубе
Оператор u1 u2
=u		 u3
=x		 u4
=uu		 u5 u6
=ux		 u7
=vrv		 u8
=uuu		 u9
=xx
Пример
Обозначение
Конвея 		C Архивная копия от 2 февраля 2017 на Wayback Machine uC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine xC Архивная копия от 16 марта 2017 на Wayback Machine uuC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine u5C uxC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine vrvC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine uuuC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine xxC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine
Вершины v v+e v+e+f v+4e v+8e v+11e+f v+16e v+21e v+26e+f
Рёбра e 4e 9e 16e 25e 36e 49e 64e 81e
Грани f f+2e 7e f+8e f+16e 24e f+32e f+42e 54e
Полная триангуляция
Оператор u1k u2k
=uk		 u3k
=xk		 u4k
=uuk		 u5k u6k
=uxk		 u7k
=vrvk		 u8k
=uuuk		 u9k
=xxk
Пример
Конвей kC Архивная копия от 5 февраля 2017 на Wayback Machine ukC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine xkC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine uukC Архивная копия от 16 марта 2017 на Wayback Machine u5kC uxkC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine vrvkC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine uuukC Архивная копия от 16 марта 2017 на Wayback Machine xxkC Архивная копия от 15 марта 2017 на Wayback Machine
Двойственный
Голдберга		 {3,n+}1,1 {3,n+}2,2 {3,n+}3,3 {3,n+}4,4 {3,n+}5,5 {3,n+}6,6 {3,n+}7,7 {3,n+}8,8 {3,n+}9,9


Операции Конвея могут дублировать некоторые многогранники Голдберга и двойственные геодезическим многогранникам. Число вершин, рёбер и граней многогранника Голдберга[англ.] G(m,n) можно вычислить исходя из m и n и число новых треугольников в каждом исходном треугольнике вычисляется по формуле T = m2 + mn + n2 = (m + n)2  mn. Построения (m,0) и (m,m) перечислены ниже обозначения операций Конвея.

Для двойственных многогранников Голдберга оператор uk определяется здесь как деление граней с подразделением рёбер на k частей. При этом оператор Конвея u = u2, а его сопряжённый оператор dud является оператором chamfer, c. Этот оператор используется в компьютерной графике, в схеме Лупа подразделения поверхности[англ.]. Оператор u3 задаётся оператором Конвея kt=x, а его сопряжённый оператор y=dxd=tk. Произведение двух whirl операторов с обращением хиральности, wrw или ww, даёт 7-подразделение в виде многогранника Голдберга[англ.] G(7,0), так что u7=vrv. Более мелкие подразделения и операции whirl в хиральных парах могут построить дополнительные формы класса I. Операция w(3,1)rw(3,1) даёт многогранник Голдберга G(13,0). Операция w(3,2)rw(3,2) даёт G(19,0).
Class I: Операции подразделения на икосаэдре как геодезические многогранники
(m,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) (8,0) (9,0) (10,0) (11,0) (12,0) (13,0) (14,0) (15,0) (16,0)
T 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256
Операция
Составной 		u1 u2=u
=dcd 		u3=x
=kt 		u4
=u22
=dccd 		u5 u6=u2u3
=dctkd 		u7
=vv
=dwrwd 		u8=u23
=dcccd 		u9=u32
=ktkt 		u10=u2u5 u11 u12=u22u3
=dccdkt 		u13
v3,1v3,1 		u14=u2u7
=uvv
=dcwrwd 		u15= u3u5
=u5x 		u16=u24
=dccccd
Треугольная
грань
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[англ.]
I Архивная копия от 30 декабря 2016 на Wayback Machine
{3,5+}1,0
uI=k5aI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}2,0[англ.]
xI=ktI Архивная копия от 30 декабря 2016 на Wayback Machine
{3,5+}3,0[англ.]
u2I Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}4,0
 
{3,5+}5,0
uxI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}6,0
vrvI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}7,0
u3I Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}8,0
x2I Архивная копия от 8 января 2018 на Wayback Machine
{3,5+}9,0
 
{3,5+}10,0
 
{3,5+}11,0
u2xI Архивная копия от 10 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}12,0
 
{3,5+}13,0
uvrvI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}14,0
 
{3,5+}15,0
u4I Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}16,0
Двойственный оператор c y
=tk		 cc c5 cy
=ctk		 ww
=wrw		 ccc y2
=tktk		 cc5 c11 ccy
=cctk		 w3,1w3,1 cww
=cwrw		 c5y cccc
Додекаэдр
Конвей
Голдберг[англ.]
D Архивная копия от 30 декабря 2016 на Wayback Machine
{5+,3}1,0
cD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}2,0[англ.]
yD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}3,0[англ.]
ccD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}4,0
c3D
{5+,3}5,0
cyD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}6,0
wrwD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}7,0
cccD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}8,0
y2D Архивная копия от 30 декабря 2016 на Wayback Machine
{5+,3}9,0
cc5D
{5+,3}10,0
c11D
{5+,3}11,0
ccyD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}12,0
w3,1rw3,1D
{5+,3}13,0
cwrwD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}14,0
c5yD
{5+,3}15,0
ccccD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
G{5+,3}16,0


Может быть определено также ортогональное подразделение, используя оператор n=kd. Оператор преобразует геодезический многогранник[англ.] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Он преобразует (a,0) в (a,a), а (a,a) в (3a,0). Оператор z=dk делает то же самое для многогранников Голдберга.
Класс II: Операции ортогонального подразделения
(m,m) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) (8,8) (9,9) (10,10) (11,11) (12,12) (13,13) (14,14) (15,15) (16,16)
T=
m23		 3
13		 12
43		 27
33		 48
243		 75
253		 108
363		 147
493		 192
643		 243
813		 300
1003		 363
1213		 432
1443		 507
1693		 588
1963		 675
2253		 768
2563
Операция u1n
n
=kd 		u2n
=un
=dct 		u3n
=xn
=ktkd 		u4n
=u22n
=dcct 		u5n u6n
=u2=u3n
=dctkt 		u7n
=vvn
=dwrwt 		u8n
=u23n
=dccct 		u9n
=u32n
=ktktkd 		u10n
=u2u5n 		u11n u12n
=u22u3n
=dcctkt 		u13n u14n
=u2u7n
=dcwrwt 		u15n
=u3u5n 		u16n
=u24n
=dcccct
Треугольная
грань
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[англ.]
nI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}1,1
unI Архивная копия от 30 декабря 2016 на Wayback Machine
{3,5+}2,2
xnI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}3,3
u2nI Архивная копия от 30 декабря 2016 на Wayback Machine
{3,5+}4,4
 
{3,5+}5,5
uxnI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}6,6
vrvnI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}7,7
u3nI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}8,8
x2nI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}9,9
{3,5+}10,10
{3,5+}11,11
u2xnI Архивная копия от 10 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}12,12
{3,5+}13,13
dcwrwdnI Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{3,5+}14,14
{3,5+}15,15
u4nI
{3,5+}16,16
Двойственный оператор z
=dk		 cz
=cdk		 yz
=tkdk		 c2z
=ccdk		 c5z cyz
=ctkdk		 wwz
=wrwdk		 c3z
=cccdk 		y2z
=tktkdk		 cc5z c11z c2yz
=c2tkdk		 c13z cwwz
=cwrwdk		 c3c5z c4z
=ccccdk
Додекаэдр
Конвей
Голдберг[англ.]
zD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}1,1
czD Архивная копия от 7 апреля 2016 на Wayback Machine
{5+,3}2,2[англ.]
yzD Архивная копия от 30 декабря 2016 на Wayback Machine
{5+,3}3,3
cczD Архивная копия от 7 апреля 2016 на Wayback Machine
{5+,3}4,4
 
{5+,3}5,5
cyzD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}6,6
wrwzD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}7,7
c3zD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}8,8
y2zD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}9,9
{5+,3}10,10
G{5+,3}11,11
ccyzD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}12,12
{5+,3}13,13
cwrwzD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
G{5+,3}14,14
{5+,3}15,15
cccczD Архивная копия от 9 января 2017 на Wayback Machine
{5+,3}16,16


Большинство геодезических многогранников и двойственные к многогранникам Голдберга G(n,m) нельзя построить с помощью операторов, производных от операторов Конвея. Операция whirl создаёт многогранник Голдберга[англ.] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины, а n-whirl образует G(n,n-1). На формах с икосаэдральной симметрией t5g эквивалентен в этом случае whirl. Операция v (=volute = виток, оборот) представляет треугольное подразделение, двойственное whirl. На икосаэдральных формах операция может быть осуществлена с помощью производного оператора k5s, pentakis snub.

Две последовательные операции whirl создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b с тем же самым хиральным направлением. Если хиральное направление обратное, G(a,b) становится G(2a+3b,a-2b) для a>=2b, и G(3a+b,2b-a) для a<2b.
Класс III: Операции подразбиения на неравные части
Операция
Составная		 v2,1
=v		 v3,1 v3,2=v3 v4,1
=vn		 v4,2
=vu		 v5,1 v4,3=v4 v5,2
=v3n		 v6,1 v6,2
=v3,1u		 v5,3
=vv		 v7,1
=v3n		 v5,4=v5 v6,3
=vx		 v7,2
T 7 13 19 21
73		 28
74		 31 37 39
133		 43 52
134		 49
77		 57
193		 61 63
97		 67
Треугольная
грань
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[англ.]
vI
{3,5+}2,1
v3,1I
{3,5+}3,1
v3I
{3,5+}3,2
vnI Архивная копия от 3 февраля 2017 на Wayback Machine
{3,5+}4,1
vuI
{3,5+}4,2
{3,5+}5,1
v4I
{3,5+}4,3
v3nI
{3,5+}5,2
{3,5+}6,1
v3,1uI
{3,5+}6,2
vvI
{3,5+}5,3
v3nI
{3,5+}7,1
v5I
{3,5+}5,4
vxI Архивная копия от 8 января 2018 на Wayback Machine
{3,5+}6,3
v7,2I
{3,5+}7,2
Оператор w w3,1 w3 wz wc w5,1 w4 w3,1z w6,1 w3,1c ww w3z w5 wy w7,2
Додекаэдр
Конвей
wD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}2,1
w3,1D
{5+,3}3,1
w3D
{5+,3}3,2
wzD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}4,1
wcD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}4,2
w5,1D
{5+,3}5,1
w4D
{5+,3}4,3
w3zD
{5+,3}5,2
{5+,3}6,1
w3,1cD
{5+,3}6,2
wwD Архивная копия от 21 октября 2016 на Wayback Machine
{5+,3}5,3
w3zD
{5+,3}7,1
w5D
{5+,3}5,4
wyD Архивная копия от 8 января 2018 на Wayback Machine
{5+,3}6,3
w7,2D
{5+,3}7,2
Другие операции класса III: Операции подразбиения на неравные части
Операция
Составная 		v8,1 v6,4
=v3u 		v7,3 v8,2
=wcz 		v6,5=v6
=vrv3,1 		v9,1
=vv3,1 		v7,4 v8,3 v9,2 v7,5 v10,1
=v4n 		v8,4
=vuu 		v9,3
=v3,1x 		v7,6=v7 v8,6
v4u
T 73 76
194		 79 84
743		 91
137		 93 97 103 109 111
373		 112
744		 117
139		 127 148
374
Треугольная
грань
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[англ.]
v8,1I
{3,5+}8,1
v3uI
{3,5+}6,4
v7,3I
{3,5+}7,3
vunI
{3,5+}8,2
vv3,1I
{3,5+}6,5
vrv3,1I
{3,5+}9,1
v7,4I
{3,5+}7,4
v8,3I
{3,5+}8,3
v9,2I
{3,5+}9,2
v7,5I
{3,5+}7,5
v4nI
{3,5+}10,1
vuuI
{3,5+}8,4
v3,1xI
{3,5+}9,3
v7I
{3,5+}7,6
v4uI
{3,5+}8,6
Оператор w8,1 wrw3,1 w7,3 w3,1c wcz w3,1w w7,4 w8,3 w9,2 w7,5 w4z wcc w3,1y w7 w4c
Додекаэдр
Конвей
w8,1D
{5+,3}8,1
w3cD
{5+,3}6,4
w7,3D
{5+,3}7,3
wczD
{5+,3}8,2
ww3,1D
{5+,3}6,5
wrw3,1D
{5+,3}9,1
w7,4D
{5+,3}7,4
w8,3D
{5+,3}8,3
w9,2D
{5+,3}9,2
w7,5D
{5+,3}7,5
w4zD
{5+,3}10,1
wccD
{5+,3}8,4
w3,1yD
{5+,3}9,3
w7D
{5+,3}7,6
w4cD
{5+,3}8,6


Примеры многогранников по симметрии

Повторение операций, начав с простой формы, может дать многогранники с большим числом граней, сохраняющих симметрию затравки.

Тетраэдральная симметрия

Октаэдральная симметрия
Хиральные


Изоэдральная симметрия
Хиральные
  • dsD (5e)
  • sD (5e)
  • wD (7e)
  • k5sD[англ.] (7e)
  • saD (10e)
  • saD (10e)
  • g3D (11e)
  • s3D (11e)
  • g3I (11e)
  • s3I (11e)
  • stI (15e)
  • stD (15e)
  • wtI (21e)
  • k5k6stI (21e)


Диэдральная симметрия
  • t4daA4=cA4
  • t4daA4=cA4 (side)
  • t4daA4=cA4 (top)
  • tA4
  • tA5
  • htA2
  • htA3=I
  • htA4
  • htA5
  • eP3 = aaP3
  • eA4 = aaA4


Тороидальная симметрия

Тороидальные мозаики существуют на плоском торе, на поверхности дуоцилиндра[англ.] в четырёхмерном пространстве, но могут быть спроектированы в трёхмерное пространство как обычный тор. Эти мозаики топологически подобны подмножествам мозаик евклидовой плоскости.
  • 1x1 правильный квадратный тор, {4,4}1,0
  • Правильный 4x4 квадратный тор, {4,4}4,0
  • tQ2412 проекция на тор
  • taQ2412 проекция на тор
  • actQ248 проекция на тор
  • tH2412 проекция на тор
  • taH248 проекция на тор
  • kH2412 проекция на тор


Евклидова квадратная симметрия
  • tQ
  • cQ
  • akQ
  • HdXQ
  • dHdXQ


Евклидова треугольная симметрия
  • tH
  • c
  • cH
  • ctH
  • dakH
  • aaaH
  • aaaH, равносторонняя


См. также

Примечания
  1. Cumulation - from Wolfram MathWorld. Дата обращения: 25 октября 2017. Архивировано 24 ноября 2017 года.
  2. Pugh, 1976, с. 63.


Литература

Ссылки
Downgrade Counter