Меню Главная Случайная статья Настройки Однородный многогранник Материал из https://ru.wikipedia.org Однородный многогранник — многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками, и он вершинно транзитивен (транзитивен относительно вершин, а также изогонален, то есть имеется движение, переводящее вершину в любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны, и многогранник имеет высокую степень зеркальной и вращательной симметрии. Однородные многогранники можно разделить на выпуклые формы с гранями в виде выпуклых правильных многоугольников и звёздчатые формы. Звёздчатые формы имеют грани в виде правильных звёздчатых многоугольников, вершинных фигур или обоих видов вместе. Список включает: все 75 непризматических однородных многогранников; некоторых представителей бесконечного множества призм и антипризм; один специальный случай, многогранник Скиллинга с пересекающимися рёбрами. В 1970-м году советским ученым Соповым доказано[1], что существует только 75 однородных многогранников, не входящих в бесконечные серии призм и антипризм. Джон Скиллинг (John Skilling) открыл ещё один многогранник, ослабив условие, что ребро может принадлежать только двум граням. Некоторые авторы не считают этот многогранник однородным, поскольку некоторые пары рёбер совпадают. Не включены: 40 потенциальных однородных многогранников с вырожденными вершинными фигурами, имеющих пересекающиеся рёбра (не перечислены Коксетером); Однородные мозаики (бесконечные многогранники) 11 евклидовых однородных мозаик с выпуклыми гранями[англ.] 14 евклидовых однородных мозаик с невыпуклыми гранями[англ.] Бесконечное число однородных мозаик на гиперболической плоскости. Содержание 1 Нумерация 2 Список многогранников 2.1 Выпуклые однородные многогранники 2.2 Однородные звёздчатые многогранники 2.3 Особый случай 3 Обозначения в колонках 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Нумерация Используются четыре схемы нумерации однородных многогранников, различающихся буквами: [C] Коксетер с соавторами (1954)[2]. Список содержит выпуклые виды с номерами от 15 до 32, три призматических вида (номера 33—35) и невыпуклые виды (номера 36—92). [W] Веннинджер (1974)[3]. Список содержит 119 фигур: номера 1—5 для платоновых тел, 6—18 для архимедовых тел, 19—66 для звёздчатых видов, включая 4 правильных невыпуклых многогранника и 67—119 для невыпуклых однородных многогранников. [K] Kaleido (программа[4], 1993). Список содержит 80 фигур, номера сгруппированы по симметрии: 1—5 представляют бесконечные серии призматических форм с диэдральной симметрией?!, 6—9 с тетраэдральной симметрией, 10—26 с октаэдральной симметрией[англ.], 46—80 с икосаэдральной симметрией. [U] Mathematica (программа, 1993)[5]. В программе, в общем, используется та же нумерации, что и в программе Kaleido, только первые 5 призматических вида перенесены в конец списка, так что непризматические виды получили номера 1—75. Список многогранников Выпуклые формы перечислены в порядке степени вершинных конфигураций от 3 граней/вершин и далее, и по увеличению сторон у грани. Это упорядочение позволяет показать топологическую схожесть. Выпуклые однородные многогранники Название Рисунок Тип вершинной конфигурации Символ Витхоффа Симм. C# W# U# K# Вер- шин Рё- бер Гра- ней ${\displaystyle \chi }$ Плот- ность Граней по типам Тетраэдр 3.3.3 3 | 2 3 Td C15 W001 U01 K06 4 6 4 2 1 4{3} Треугольная призма 3.4.4 2 3 | 2 D3h C33a -- U76a K01a 6 9 5 2 1 2{3} +3{4} Усечённый тетраэдр 3.6.6 2 3 | 3 Td C16 W006 U02 K07 12 18 8 2 1 4{3} +4{6} Усечённый куб 3.8.8 2 3 | 4 Oh C21 W008 U09 K14 24 36 14 2 1 8{3} +6{8} Усечённый додекаэдр 3.10.10 2 3 | 5 Ih C29 W010 U26 K31 60 90 32 2 1 20{3} +12{10} Куб 4.4.4 3 | 2 4 Oh C18 W003 U06 K11 8 12 6 2 1 6{4} Пятиугольная призма 4.4.5 2 5 | 2 D5h C33b -- U76b K01b 10 15 7 2 1 5{4} +2{5} Шестиугольная призма 4.4.6 2 6 | 2 D6h C33c -- U76c K01c 12 18 8 2 1 6{4} +2{6} Восьмиугольная призма 4.4.8 2 8 | 2 D8h C33e -- U76e K01e 16 24 10 2 1 8{4} +2{8} Десятиугольная призма 4.4.10 2 10 | 2 D10h C33g -- U76g K01g 20 30 12 2 1 10{4} +2{10} Двенадцатиугольная призма[англ.] 4.4.12 2 12 | 2 D12h C33i -- U76i K01i 24 36 14 2 1 12{4} +2{12} Усечённый октаэдр 4.6.6 2 4 | 3 Oh C20 W007 U08 K13 24 36 14 2 1 6{4} +8{6} Усечённый кубооктаэдр 4.6.8 2 3 4 | Oh C23 W015 U11 K16 48 72 26 2 1 12{4} +8{6} +6{8} Ромбоусечённый икосододекаэдр 4.6.10 2 3 5 | Ih C31 W016 U28 K33 120 180 62 2 1 30{4} +20{6} +12{10} Додекаэдр 5.5.5 3 | 2 5 Ih C26 W005 U23 K28 20 30 12 2 1 12{5} Усечённый икосаэдр 5.6.6 2 5 | 3 Ih C27 W009 U25 K30 60 90 32 2 1 12{5} +20{6} Октаэдр 3.3.3.3 4 | 2 3 Oh C17 W002 U05 K10 6 12 8 2 1 8{3} Квадратная антипризма 3.3.3.4 | 2 2 4 D4d C34a -- U77a K02a 8 16 10 2 1 8{3} +2{4} Пятиугольная антипризма 3.3.3.5 | 2 2 5 D5d C34b -- U77b K02b 10 20 12 2 1 10{3} +2{5} Шестиугольная антипризма 3.3.3.6 | 2 2 6 D6d C34c -- U77c K02c 12 24 14 2 1 12{3} +2{6} Восьмиугольная антипризма[англ.] 3.3.3.8 | 2 2 8 D8d C34e -- U77e K02e 16 32 18 2 1 16{3} +2{8} Десятиугольная антипризма[англ.] 3.3.3.10 | 2 2 10 D10d C34g -- U77g K02g 20 40 22 2 1 20{3} +2{10} Двенадцатиугольная антипризма[англ.] 3.3.3.12 | 2 2 12 D12d C34i -- U77i K02i 24 48 26 2 1 24{3} +2{12} Кубооктаэдр 3.4.3.4 2 | 3 4 Oh C19 W011 U07 K12 12 24 14 2 1 8{3} +6{4} Ромбокубооктаэдр 3.4.4.4 3 4 | 2 Oh C22 W013 U10 K15 24 48 26 2 1 8{3} +(6+12){4} Ромбоикосододекаэдр 3.4.5.4 3 5 | 2 Ih C30 W014 U27 K32 60 120 62 2 1 20{3} +30{4} +12{5} Икосододекаэдр 3.5.3.5 2 | 3 5 Ih C28 W012 U24 K29 30 60 32 2 1 20{3} +12{5} Икосаэдр 3.3.3.3.3 5 | 2 3 Ih C25 W004 U22 K27 12 30 20 2 1 20{3} Плосконосый куб 3.3.3.3.4 | 2 3 4 O C24 W017 U12 K17 24 60 38 2 1 (8+24){3} +6{4} Плосконосый додекаэдр 3.3.3.3.5 | 2 3 5 I C32 W018 U29 K34 60 150 92 2 1 (20+60){3} +12{5} Однородные звёздчатые многогранники Название Рисунок Символ Витхоффа Тип вершинной конфигурации Симм. C# W# U# K# Вер- шин Рё- бер Гра- ней ${\displaystyle \chi }$ Плот- ность Граней по типам Октагемиоктаэдр[англ.] 3/2 3 | 3 6.3/2.6.3 Oh C37 W068 U03 K08 12 24 12 0 8{3}+4{6} Тетрагемигексаэдр 3/2 3 | 2 4.3/2.4.3 Td C36 W067 U04 K09 6 12 7 1 4{3}+3{4} Кубогемиоктаэдр[англ.] 4/3 4 | 3 6.4/3.6.4 Oh C51 W078 U15 K20 12 24 10 -2 6{4}+4{6} Большой додекаэдр 5/2 | 2 5 (5.5.5.5.5)/2 Ih C44 W021 U35 K40 12 30 12 -6 3 12{5} Большой икосаэдр 5/2 | 2 3 (3.3.3.3.3)/2 Ih C69 W041 U53 K58 12 30 20 2 7 20{3} Большой битригональный икосододекаэдр[англ.] 3/2 | 3 5 (5.3.5.3.5.3)/2 Ih C61 W087 U47 K52 20 60 32 -8 6 20{3}+12{5} Малый ромбогексаэдр[англ.] 2 4 (3/2 4/2) | 4.8.4/3.8 Oh C60 W086 U18 K23 24 48 18 -6 12{4}+6{8} Малый кубокубооктаэдр[англ.] 3/2 4 | 4 8.3/2.8.4 Oh C38 W069 U13 K18 24 48 20 -4 2 8{3}+6{4}+6{8} Большой ромбокубооктаэдр[англ.] 3/2 4 | 2 4.3/2.4.4 Oh C59 W085 U17 K22 24 48 26 2 5 8{3}+(6+12){4} Малый додеко- гемидодекаэдр[англ.] 5/4 5 | 5 10.5/4.10.5 Ih C65 W091 U51 K56 30 60 18 -12 12{5}+6{10} Большой додеко- гемиикосаэдр[англ.] 5/4 5 | 3 6.5/4.6.5 Ih C81 W102 U65 K70 30 60 22 -8 12{5}+10{6} Малый икосо- гемидодекаэдр[англ.] 3/2 3 | 5 10.3/2.10.3 Ih C63 W089 U49 K54 30 60 26 -4 20{3}+6{10} Малый додекоикосаэдр[англ.] 3 5 (3/2 5/4) | 10.6.10/9.6/5 Ih C64 W090 U50 K55 60 120 32 -28 20{6}+12{10} Малый ромбододекаэдр[англ.] 2 5 (3/2 5/2) | 10.4.10/9.4/3 Ih C46 W074 U39 K44 60 120 42 -18 30{4}+12{10} Малый додеко- икосододекаэдр[англ.] 3/2 5 | 5 10.3/2.10.5 Ih C42 W072 U33 K38 60 120 44 -16 2 20{3}+12{5}+12{10} Ромбоикосаэдр[англ.] 2 3 (5/4 5/2) | 6.4.6/5.4/3 Ih C72 W096 U56 K61 60 120 50 -10 30{4}+20{6} Большой икосо- икосододекаэдр[англ.] 3/2 5 | 3 6.3/2.6.5 Ih C62 W088 U48 K53 60 120 52 -8 6 20{3}+12{5}+20{6} Пентаграммная призма 2 5/2 | 2 5/2.4.4 D5h C33b -- U78a K03a 10 15 7 2 2 5{4}+2{5/2} Гептаграммная призма 7/2[англ.] 2 7/2 | 2 7/2.4.4 D7h C33d -- U78b K03b 14 21 9 2 2 7{4}+2{7/2} Гептаграммная призма 7/3[англ.] 2 7/3 | 2 7/3.4.4 D7h C33d -- U78c K03c 14 21 9 2 3 7{4}+2{7/3} Октаграммная призма[англ.] 2 8/3 | 2 8/3.4.4 D8h C33e -- U78d K03d 16 24 10 2 3 8{4}+2{8/3} Пентаграммная антипризма[англ.] | 2 2 5/2 5/2.3.3.3 D5h C34b -- U79a K04a 10 20 12 2 2 10{3}+2{5/2} Пентаграммная скрещённая антипризма[англ.] | 2 2 5/3 5/3.3.3.3 D5d C35a -- U80a K05a 10 20 12 2 3 10{3}+2{5/2} Гептаграммная антипризма 7/2[англ.] | 2 2 7/2 7/2.3.3.3 D7h C34d -- U79b K04b 14 28 16 2 3 14{3}+2{7/2} Гептаграммная антипризма 7/3[англ.] | 2 2 7/3 7/3.3.3.3 D7d C34d -- U79c K04c 14 28 16 2 3 14{3}+2{7/3} Гептаграммная скрещённая антипризма[англ.] | 2 2 7/4 7/4.3.3.3 D7h C35b -- U80b K05b 14 28 16 2 4 14{3}+2{7/3} Октаграммная антипризма[англ.] | 2 2 8/3 8/3.3.3.3 D8d C34e -- U79d K04d 16 32 18 2 3 16{3}+2{8/3} Октаграммная скрещённая антипризма[англ.] | 2 2 8/5 8/5.3.3.3 D8d C35c -- U80c K05c 16 32 18 2 5 16{3}+2{8/3} Малый звёздчатый додекаэдр 5 | 2 5/2 (5/2)5 Ih C43 W020 U34 K39 12 30 12 -6 3 12{5/2} Большой звёздчатый додекаэдр 3 | 2 5/2 (5/2)3 Ih C68 W022 U52 K57 20 30 12 2 7 12{5/2} Битриагональный додекододекаэдр[англ.] 3 | 5/3 5 (5/3.5)3 Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 4 12{5}+12{5/2} Малый битриагональный икосододекаэдр[англ.] 3 | 5/2 3 (5/2.3)3 Ih C39 W070 U30 K35 20 60 32 -8 2 20{3}+12{5/2} Звёздчатый усечённый гексаэдр[англ.] 2 3 | 4/3 8/3.8/3.3 Oh C66 W092 U19 K24 24 36 14 2 7 8{3}+6{8/3} Большой ромбогексаэдр 2 4/3 (3/2 4/2) | 4.8/3.4/3.8/5 Oh C82 W103 U21 K26 24 48 18 -6 12{4}+6{8/3} Большой кубокубооктаэдр[англ.] 3 4 | 4/3 8/3.3.8/3.4 Oh C50 W077 U14 K19 24 48 20 -4 4 8{3}+6{4}+6{8/3} Большой додеко- гемидодекаэдр[англ.] 5/35/2 | 5/3 10/3.5/3.10/3.5/2 Ih C86 W107 U70 K75 30 60 18 -12 12{5/2}+6{10/3} Малый додеко- гемиикосаэдр[англ.] 5/35/2 | 3 6.5/3.6.5/2 Ih C78 W100 U62 K67 30 60 22 -8 12{5/2}+10{6} Додекододекаэдр 2 | 5/2 5 (5/2.5)2 Ih C45 W073 U36 K41 30 60 24 -6 3 12{5}+12{5/2} Большой икосо- гемидодекаэдр[англ.] 3/2 3 | 5/3 10/3.3/2.10/3.3 Ih C85 W106 U71 K76 30 60 26 -4 20{3}+6{10/3} Большой икосо- додекаэдр 2 | 5/2 3 (5/2.3)2 Ih C70 W094 U54 K59 30 60 32 2 7 20{3}+12{5/2} Кубоусечённый кубооктаэдр[англ.] 4/3 3 4 | 8/3.6.8 Oh C52 W079 U16 K21 48 72 20 -4 4 8{6}+6{8}+6{8/3} Большой усечённый кубооктаэдр[англ.] 4/3 2 3 | 8/3.4.6/5 Oh C67 W093 U20 K25 48 72 26 2 1 12{4}+8{6}+6{8/3} Усечённый большой додекаэдр[англ.] 2 5/2 | 5 10.10.5/2 Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 -6 3 12{5/2}+12{10} Малый звёздчатый усечённый додекаэдр[англ.] 2 5 | 5/3 10/3.10/3.5 Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 -6 9 12{5}+12{10/3} Большой звёздчатый усечённый додекаэдр[англ.] 2 3 | 5/3 10/3.10/3.3 Ih C83 W104 U66 K71 60 90 32 2 13 20{3}+12{10/3} Усечённый большой икосаэдр[англ.] 2 5/2 | 3 6.6.5/2 Ih C71 W095 U55 K60 60 90 32 2 7 12{5/2}+20{6} Большой додекоикосаэдр[англ.] 3 5/3(3/2 5/2) | 6.10/3.6/5.10/7 Ih C79 W101 U63 K68 60 120 32 -28 20{6}+12{10/3} Большой ромбододекаэдр[англ.] 2 5/3 (3/2 5/4) | 4.10/3.4/3.10/7 Ih C89 W109 U73 K78 60 120 42 -18 30{4}+12{10/3} Икосо- додекододекаэдр[англ.] 5/3 5 | 3 6.5/3.6.5 Ih C56 W083 U44 K49 60 120 44 -16 4 12{5}+12{5/2}+20{6} Малый битриагональный додеко- икосододекаэдр[англ.] 5/3 3 | 5 10.5/3.10.3 Ih C55 W082 U43 K48 60 120 44 -16 4 20{3}+12{;5/2}+12{10} Большой битриагональный додеко- икосододекаэдр[англ.] 3 5 | 5/3 10/3.3.10/3.5 Ih C54 W081 U42 K47 60 120 44 -16 4 20{3}+12{5}+12{10/3} Большой додеко- икосододекаэдр[англ.] 5/2 3 | 5/3 10/3.5/2.10/3.3 Ih C77 W099 U61 K66 60 120 44 -16 10 20{3}+12{5/2}+12{10/3} Малый икосо- икосододекаэдр[англ.] 5/2 3 | 3 6.5/2.6.3 Ih C40 W071 U31 K36 60 120 52 -8 2 20{3}+12{5/2}+20{6} Ромбододеко- додекаэдр[англ.] 5/2 5 | 2 4.5/2.4.5 Ih C48 W076 U38 K43 60 120 54 -6 3 30{4}+12{5}+12{5/2} Большой ромбоикосо- додекаэдр[англ.] 5/3 3 | 2 4.5/3.4.3 Ih C84 W105 U67 K72 60 120 62 2 13 20{3}+30{4}+12{5/2} Икосоусечённый додекододекаэдр[англ.] 5/3 3 5 | 10/3.6.10 Ih C57 W084 U45 K50 120 180 44 -16 4 20{6}+12{10}+12{10/3} Усечённый додекододекаэдр[англ.] 5/3 2 5 | 10/3.4.10/9 Ih C75 W098 U59 K64 120 180 54 -6 3 30{4}+12{10}+12{10/3} Большой усечённый икосододекаэдр[англ.] 5/3 2 3 | 10/3.4.6 Ih C87 W108 U68 K73 120 180 62 2 13 30{4}+20{6}+12{10/3} Плосконосый додекододекаэдр[англ.] | 2 5/2 5 3.3.5/2.3.5 I C49 W111 U40 K45 60 150 84 -6 3 60{3}+12{5}+12{5/2} Вывернутый плосконосый додекододекаэдр[англ.] | 5/3 2 5 35/3.3.3.5 I C76 W114 U60 K65 60 150 84 -6 9 60{3}+12{5}+12{5/2} Большой плосконосый икосододекаэдр[англ.] | 2 5/2 3 34.5/2 I C73 W116 U57 K62 60 150 92 2 7 (20+60){3}+12{5/2} Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр[англ.] | 5/3 2 3 33.5/3 I C88 W113 U69 K74 60 150 92 2 13 (20+60){3}+12{5/2} Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр | 3/25/3 2 (34.5/2)/2 I C90 W117 U74 K79 60 150 92 2 37 (20+60){3}+12{5/2} Большой плосконосый додеко- икосододекаэдр[англ.] | 5/35/2 3 33.5/3.3.5/2 I C80 W115 U64 K69 60 180 104 -16 10 (20+60){3}+(12+12){5/2} Плосконосый икосо- додекододекаэдр[англ.] | 5/3 3 5 33.5.5/3 I C58 W112 U46 K51 60 180 104 -16 4 (20+60){3}+12{5}+12{5/2} Малый плосконосый икосо- икосододекаэдр[англ.] | 5/2 3 3 35.5/2 Ih C41 W110 U32 K37 60 180 112 -8 2 (40+60){3}+12{5/2} Малый вывернутый обратноплосконосый икосо- икосододекаэдр[англ.] | 3/23/25/2 (35.5/3)/2 Ih C91 W118 U72 K77 60 180 112 -8 38 (40+60){3}+12{5/2} Большой биромбо- икосододекаэдр[англ.] | 3/25/3 3 5/2 (4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2 Ih C92 W119 U75 K80 60 240 124 -56 40{3}+60{4}+24{5/2} Особый случай Название по Бауэру (Bower) Рисунок Символ Витхоффа Вершинная конфигурация Группа симметрии C# W# U# K# Вершин Рёбер Граней ${\displaystyle \chi }$ Плот- ность Граней по типам Большой биплосконосый биромбо- додекаэдр[англ.] | (3/2) 5/3 (3) 5/2 (5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2 Ih -- -- -- -- 60 240 (*) 204 24 120{3}+60{4}+24{5/2} (*): В Большом биплосконосом биромбододекаэдре 120 из 240 рёбер принадлежат четырём граням. Если эти 120 рёбер считать как две пары совпадающих рёбер, где каждое ребро принадлежит только двум граням, то всего будет 360 рёбер и эйлерова характеристика становится равной 88. Ввиду этой вырожденности рёбер многогранник не всеми признаётся как однородный. Обозначения в колонках U# — Однородные номера: U01—U80 (Тетраэдр первый, Призмы с номерами 76+) K# — Kaleido software номера: K01—K80 (Kn = Un-5 для n = 6 to 80) (призмы 1—5, тетраэдр и далее 6+) W# — Модели Магнуса Веннинджера: W001—W119 1—18 — 5 выпуклых правильных и 13 выпуклых полуправильных 20—22, 41 — 4 невыпуклые правильные 19—66 — 48 звёздчатых форм/соединений (нерегулярные не даны в этом списке) 67—109 — 43 невыпуклых остроносых однородных многогранников 110—119 — 10 невыпуклых плосконосых однородных многогранников ${\displaystyle \chi }$ — эйлерова характеристика. Однородные мозаики на плоскости соответствуют топологии тора с эйлеровой характеристикой ноль. Плотность — плотность многогранника[англ.] представляет число оборотов многогранника вокруг центра. Число отсутствует для неориентируемых многогранников и для гемиполиэдров[англ.] (многогранников, имеющих грани, проходящие через центр многогранника), для которых нет чёткого определения плотности. Замечание о рисунках вершинных фигур: Светлые отрезки представляют «вершинную фигуру» многогранника. Цветные грани включены в рисунок вершинной фигуры, чтобы видеть их связи. Некоторые пересекающиеся грани нарисованы визуально неверно, поскольку визуально они не показывают, какие части находится впереди. Примечания Сопов С.П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // [[Украинский геометрический сборник]], выпуск 8, 1970 год, стр. 139-156.  Дата обращения: 9 ноября 2017. Архивировано 7 ноября 2017 года. Coxeter, 1938. Веннинджер, 1974. Kaleidoscopic Construction of Uniform Polyhedra, Dr. Zvi Har’El Maeder, 1993. Литература М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974. H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — . J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278. — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1975.0022. — . Roman E. Maeder. Uniform Polyhedra // The Mathematica Journal. — 1993. — Т. 3, вып. 4. Ссылки Stella: Polyhedron Navigator . Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 9 июля 2010 года. — Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page. Robert Webb. Uniform Polyhedra and their Duals . Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 5 декабря 2015 года. Сопов С.П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников Архивная копия от 7 ноября 2017 на Wayback Machine // Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970 год, стр. 139-156. Uniform indexing: U1—U80, (Tetrahedron first) Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80) . Архивировано 11 сентября 2006 года. Weisstein, Eric W. Uniform Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Roman E. Maeder. The Uniform Polyhedra . MathConsult AG. Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 5 июня 2014 года. All uniform polyhedra by rotation group . Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 21 октября 2014 года. Sam Gratrix. Uniform Polyhedra Summary . Gratrix.net. Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано из оригинала 10 ноября 2017 года.  (недоступная ссылка — история) James R. Buddenhagen. Uniform Polyhedra . Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года. Kaleido Indexing: K1-K80 (Pentagonal prism first) Zvi Har’El. Kaleido . Архивировано из оригинала 20 мая 2011 года. Uniform Solution for Uniform Polyhedra . Архивировано из оригинала 15 июля 2009 года. V. Bulatov. Uniform Polyhedra . Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 25 июля 2011 года. Jim McNeill. Uniform Polyhedra . Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года. U. Mikloweit. Facetings of uniform polyhedra . Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.