Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
| Чередующиеся кубические соты
|
|
|
| Тип |
Выпуклые однородные соты[англ.]
|
| Семейство |
Чередующиеся гиперболические соты[англ.]
симлектические соты[англ.]
|
| Обозначение[1]
|
J21,31,51, A2
W9, G1
|
| Символы Шлефли |
h{4,3,4}
{3[4]}
ht0,3{4,3,4}
h{4,4}h{}
ht0,2{4,4}h{}
h{}h{}h{}
s{}s{}s{}
|
| Диаграммы Коксетера |
=
=
=
=
|
| Ячейки |
{3,3}
, {3,4}
|
| Типы граней |
Треугольник {3}
|
| Фигура ребра |
[{3,3}.{3,4}]2
(прямоугольник)
|
| Вершинная фигура |
(кубооктаэдр)
|
| Группа симметрии |
Fm3m (225)
|
| Группа Коксетера |
, [4,31,1]
|
| Двойственные |
Додекаэдральная ячейка
Ромбододекаэдральные соты
Ячейка:
|
| Свойства |
вершинно-транзитивная, рёберно-транзитивная, квазиправильная мозаика
| Тетраэдрально-октаэдральные соты или чередующиеся кубические соты — это квазирегулярная заполняющее пространство замощение (или соты) в трёхмерном евклидовом пространстве. Соты составлены из чередующихся октаэдров и тетраэдров в пропорции 1:2.
Встречаются другие названия этих сот — half cubic honeycomb (полукубические соты), half cubic cellulation (полукубическая ячеистая структура), или tetragonal disphenoidal cellulation (тетрагональная дисфеноидальная ячеистая структура). Джон Хортон Конвей назвал эти соты tetroctahedrille, а двойственные соты назвал dodecahedrille.
Ричард Бакминстер Фуллер скомбинировал два слова octahedron (октаэдр) и tetrahedron (тетраэдр) в одно octet, то есть ромбоэдр, состоящий из одного октаэдра (или двух квадратных пирамид) и двух противоположных тетрэдров.
Тетраэдрально-октаэдральные соты вершинно транзитивны и имеют 8 тетраэдров и 6 октаэдров вокруг каждой вершины. Они также рёберно транзитивны и имеют 2 тетраэдра и 2 октаэдра, чередующихся вокруг каждого ребра.
Соты в геометрии — это заполняющие пространство многогранные (в любой размерности) ячейки, так что между ячейками не остаётся свободного пространства. Соты являются примером общего математического понятия замощения в пространствах любой размерности.
Соты обычно предполагаются в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как, например, выпуклые однородные соты[англ.]. Однако, их можно построить и в неевклидовых пространствах, как, например, гиперболические однородные соты[англ.]. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу для получения однородных сот на сферическом пространстве.
Тетраэдрально-октаэдральные соты принадлежат бесконечному семейству однородных сот?!, называющихся чередующимися гиперболическими сотами[англ.], которые образованы путём альтернирования[англ.] (альтернирование — это частичное усечение многогранника, при котором отрезается часть вершин) гиперболических сот и имеющих грани в виде полугиперкубов и гипероктаэдров. Соты принадлежат также другому бесконечному семейству однородных сот, называемых симлектическими сотами[англ.].
При альтернировании кубических сот в трёхмерном пространстве кубические ячейки превращаются в тетраэдры, а на месте удалённых вершин образуются октаэдральные пустоты. В таком виде их можно представить расширенным символом Шлефли h{4,3,4} как содержащие половину вершин кубических сот {4,3,4}.
Имеются похожие соты с названием повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[англ.]*, которые имеют слои, повёрнутые на 60 градусов, так что половина сторон имеет смежные, а не чередующиеся тетраэдры и октаэдры.
Тетраэдрально-октаэдральные соты могут иметь удвоенную симметрию, если разместить тетраэдры в октаэдральных ячейках, создавая неоднородные соты, состоящие из тетраэдров и октаэдров (как треугольные антипризмы). Вершинная фигура этих сот — усечённый триакистетраэдр порядка 3[англ.]. Эти соты двойственны триакис усечённым тетраэдральным сотам[англ.] с ячейками в виде триакис усечённых тетраэдров[англ.].
Содержание
Декартовы координаты
Для альтернировнных кубических сот с рёбрами, параллельными осям, и имеющими длину 1, декартовы координаты вершин равны: (для всех целочисленных значений i,j,k, для которых i+j+k чётно)
- (i, j, k)
Симметрия
Есть два зеркальных построения и много построений альтернированием кубических сот. Примеры:
| Симметрия
|
, [4,31,1]
= , [1+,4,3,4]
|
, [3[4]]
= , [1+,4,31,1]
|
[[(4,3,4,2+)]]
|
[(4,3,4,2+)]
|
Пространственная
группа
|
Fm3m (225)
|
F43m (216)
|
I43m (217)
|
P43m (215)
|
| Рисунок
|
|
|
|
|
| Типы тетраэдров
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Диаграмма
Коксетера —
Дынкина
|
=
|
= =
|
|
|
Срезы альтернированных кубических сот
Альтернированные кубические соты можно расслоить на секции, когда новые квадратные грани создаются внутри октаэдра. Каждый слой содержит квадратные пирамиды с основаниями на верхней и нижней плоскостях и тетраэдров, сидящих на боковых рёбрах этих пирамид. Другое направление среза не нуждается в дополнительных гранях и включает поочерёдно тетраэдры и октаэдры. Эти слоёные соты являются равнобедренными сотами[англ.], а не однородными.
Проекция по свёртке
Чередующиеся кубические соты можно ортогонально спроецировать на плоскую квадратную мозаику с помощью операции геометрической свёртки, которая отображает одну пару отражений в другую. Проекция альтернированых кубических сот создаёт две копии квадратной мозаики расположения вершин[англ.]:
Решётки A3/D3
Расположение вершин[англ.] представляет собой решётку A3 или решётку D3[2][3]. Эта решётка известна в кристаллографии как гранецентрированная кубическая решётка и её называют также кубической решёткой плотной упаковки, поскольку её вершины являются центрами сфер одинакового диаметра в плотной упаковке, которая даёт наивысшую среднюю плотность.
Тетраэдрально-октаэдральные соты являются трёхмерным вариантом симлектических сот[англ.]. Ячейка Вороного этих сот представляет собой ромбододекаэдр, являющийся двойственным телом для кубооктаэдра, вершинной фигурой тетраэдрально-октаэдрльных сот.
Упаковку D+
3 можно построить как объединение двух D3 (или A3) решёток. Упаковка D+
n является решёткой только для чётных размерностей. Контактное число равно 22=4, (2n-1 для n<8, 240 для n=8 и 2n(n-1) для n>8)[4].
-
Решётку A*
3 или D*
3 (то же, что и A4
3 или D4
3) можно построить путём объединения всех четырёх решёток A3, и она идентична расположению вершин[англ.] тетрагональных дисфеноидных сот[англ.], двойственных однородным дважды усечённым кубическим сотам[англ.][5] Решётка является также объёмно-центрированной кубической решёткой, объединением двух кубических сот в двойственном положении.
- = двойственные для = .
Контактное число решётки D*
3 равно 8[6] и её диаграммой Вороного являются дважды усечённые кубические соты[англ.] , содержащие все усечённые октаэдральные ячейки Вороного [7].
Связанные соты
Соты C3
Группа Коксетера [4,3,4], , образует 15 перестановок однородных сот, 9 с различными геометриями, включая чередующиеся кубические соты. Растянутые кубические соты (известные также под названием «обструганные тессерактные соты») геометрически идентичны кубическим сотам.
| Соты C3
|
Кристалло-
графическая
группа
|
Фибрифолд[англ.]
|
Расширенная
симметрия[англ.]
|
Расширенная
диаграмма
|
Порядок
|
Соты
|
Pm3m
(221)
|
4:2
|
[4,3,4]
|
|
1
|
1, 2,
3,
4,
5, 6
|
Fm3m
(225)
|
2:2
|
[1+,4,3,4]
[4,31,1]
|
|
Половина
|
7, 11,
12, 13
|
I43m
(217)
|
4o:2
|
[[(4,3,4,2+)]]
|
|
Половина 2
|
(7),
|
Fd3m
(227)
|
2+:2
|
[[1+,4,3,4,1+]]
[[3[4]]]
|
|
Четверть 2
|
10,
|
Im3m
(229)
|
8o:2
|
[[4,3,4]]
|
|
2
|
(1),
8,
9
|
Соты B3
Группа Коксетера [4,31,1], , образует 9 перестановок однородных сот, 4 с различными геометриями, включая чередующиеся кубические соты.
| Соты B3
|
Крист.
группа
|
Фибрифолд[англ.]
|
Нотация Коксетера[англ.]
|
Расширенная
диаграмма
|
Порядок
|
Соты
|
Fm3m
(225)
|
2:2
|
[4,31,1]
[4,3,4,1+]
|
|
1
|
1,
2,
3,
4
|
Fm3m
(225)
|
2:2
|
<[1+,4,31,1]>
<[3[4]]>
|
|
2
|
(1),
(3)
|
Pm3m
(221)
|
4:2
|
<[4,31,1]>
|
|
2
|
5,
6,
7,
(6),
9,
10,
11
|
Соты A3
Соты являются одними из пяти различных однородных сот[англ.][8], построенных на основе группы Коксетера . Симметрия может быть умножена на симметрию колец в диаграммах Коксетера — Дынкина:
| Соты A3
|
Крист.
группа
|
Фибрифолд[англ.]
|
Квадратная
симметрия
|
Нотация Коксетера[англ.]
|
Расширенная
диаграмма
|
!Расширенная
группа
|
Диаграммы сот
|
F43m
(216)
|
1o:2
|
a1
|
[3[4]]
|
|
|
(Нет)
|
Fm3m
(225)
|
2:2
|
d2
|
<[3[4]]>
[4,31,1]
|
|
21
|
1,
2
|
Fd3m
(227)
|
2+:2
|
g2
|
[[3[4]]]
or [2+[3[4]]]
|
|
22
|
3
|
Pm3m
(221)
|
4:2
|
d4
|
<2[3[4]]>
[4,3,4]
|
|
41
|
4
|
I3
(204)
|
8o
|
r8
|
[4[3[4]]]+
[[4,3+,4]]
|
|
8
2
|
(*)
|
Im3m
(229)
|
8o:2
|
[4[3[4]]]
[[4,3,4]]
|
8
2
|
5
|
Квазиправильные соты
Квазиправильные многогранники и соты: h{4,p,q}
| Пространство
|
Конечное
|
Аффинное
|
Компактное
|
Паракомпактное
|
| Название
|
h{4,3,3}
|
h{4,3,4}
|
h{4,3,5}
|
h{4,3,6}
|
h{4,4,3}
|
h{4,4,4}
|
|
|
|
|
|
|
|
Диаграмма
Коксетера
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рисунок
|
|
|
|
|
|
|
Вершинная
фигура
r{p,3}
|
|
|
|
|
|
|
Скошенные кубические соты
Скошенные кубические соты или усечённые полукубические соты — это однородное заполняющее пространство замощение (или соты) в трёхмерном пространстве. Соты состоят из усечённых октаэдров, кубооктаэдров и усечённых тетраэдров в отношении 1:1:2. Вершинной фигурой сот служит прямоугольная пирамида.
Джон Хортон Конвей назвал эти соты усечёнными тетраэдро-октаэдральными ячейками (en:truncated tetraoctahedrille), а их двойственные сжатыми октаэдральными полуячейками (en:half oblate octahedrille).
-
Соты имеют два различных однородных построения. Построение на основе можно видеть с поочерёдно выкрашенными усечёнными тетраэдрами.
Соты связаны со скошенными кубическими сотами. Ромбокубооктаэдры уменьшаются до усечённых октаэдров, а кубы уменьшаются до усечённых тетраэдров.
рёберно усечённыt кубические
|
Скошенные кубические
|
, ,
rr{4,3}, r{4,3}, {4,3}
|
, ,
t{3,4}, r{4,3}, t{3,3}
|
Обструганные кубические соты
Струганые кубические соты — это однородные заполняющая пространство мозаика (или соты) в трёхмерном пространстве. Соты состоят из ромбокубооктаэдров, кубов и тетраэдров в отношении 1:1:2. Вершинной фигурой сот служит треугольная призма с тетраэдром на одном конце, кубом на противоположном конце и тремя ромбокубоктаэдрами вокруг трапецеидальных сторон.
Джон Хортон Конвей назвал эти соты 3-RCO-ячейками (en:3-RCO-trille), а двойственные им кубическими четвертьячейками?! (en:quarter cubille).
Двойственные соты для обструганных кубические сот (en:runcic cubic honeycomb) называются кубическими четвертьячейками (en:quarter cubille) и их диаграммы Коксетера — Дынкина с гранями на 2 из 4 гиперплоскостей фундаментальной области симметрии , [4,31,1].
Ячейки данных сот можно рассматривать как 1/4 разрезанного куба, которые используют 4 вершины и центр куба. Четыре ячейки находятся вокруг 6 рёбер, а 3 ячейки вокруг 3 рёбер.
Соты связаны с обструганными кубическими сотами[англ.]*, у которых четверть кубов альтернировано[англ.] в тетраэдры, а половина растянута в ромбокубоктаэдры.
Обструганный куб[англ.]*
|
Обструганные кубические соты
=
|
{4,3}, {4,3}, {4,3}, {4,3}
, , ,
|
h{4,3}, rr{4,3}, {4,3}
, ,
|
Двуусечённые кубические соты
Двуусечённые кубические соты — это заполняющая пространство замощение (или соты) в трёхмерном евклидовом пространстве.
Соты состят из усечённых кубооктаэдров, усечённых кубов и усечённых тетраэдров в отношении 1:1:2. Соты связаны со струг-скошеннымы кубическими сотами.
Джон Хортон Конвей назвал эти соты f-tCO-trille, а их двойственные — (половинками пирамидальной ячейки[англ.], en:half pyramidille).
Двойственные соты для струг-усечённых кубических сот называются половинками пирамидальной ячейки (en:half pyramidille) с диаграммой Коксетера . Грани существуют на 3 из 4 гиперплоскостей группы Коксетера [4,31,1], .
Ячейки являются неправильными пирамидами и могут рассматриваться как 1/12 куба или 1/24 ромбододекаэдра, каждая из ячеек содержит три угла и центр куба.
Существует связанный однородный косой бесконечногранник[англ.] с тем же расположением вершин[англ.], но треугольники и квадраты удалены. Его можно рассматривать как расположенные вместе усечённые тетраэдры и усечённые кубы.
Двуусечённые кубические< соты
|
струг-скошенные соты
|
Повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты
Повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты или повёрнутые чередующиеся кубические соты — это заполняющая пространство замощение (или соты) в трёхмерном евклидовом пространстве, состоящие из октаэдров и тетраэдров в отношении 1:2.
Это вершинно-однородная фигура с 8 тетраэдрами и 6 октаэдрами вокруг каждой вершины.
Соты не рёберно-транзитивны. Все рёбра имеют по 2 тетраэдра и 2 октаэдра, но некоторые чередуются, а некоторые соприкасаются.
Эти соты можно рассматривать как зеркальные отражения этих слоёв сот:
Соты являются менее симметричной версией других сот, тетраэдральных-октаэдральных сот, в которых каждое ребро окружено чередующимися тетраэдрами и октаэдрами. Оба вида сот можно рассматривать как слои толщиной в одну ячейку, внутри которых строго чередуются два вида ячеек. Поскольку грани плоскостей, разделяющих эти слои образуют правильную решётку треугольников, смежные слои могут быть размещены так, что каждый октаэдр в одном слое соприкасается с тетраэдром в другом слое, или так, что каждая ячейка соприкасается с ячейкой того же вида (границы слоёв в этом случае становятся плоскостями отражения). Эта последняя форма называется повёрнутой.
Вершинная фигура называется трехскатным прямым бикуполом. Сравните с тетраэдрально-октаэдральными сотами, вершинной фигурой которых служит кубооктаэдр, который (в случае меньшей симметрии) называется треугольным повёрнутым бикуполом.
Геометрия сот может быть получена путём операции альтернирования[англ.], применённой к шестиугольным призматическим сотам. Ячейки в виде шестиугольных призм становятся октаэдрами, а пустоты создают треугольные бипирамиды, которые можно разбить на пары тетраэдров этих сот. Соты с бипирамилами называются битетраэдральными-октаэдральными сотами. Есть 3 диаграммы Коксетера — Дынкина, которые можно рассмативать как 1, 2 или 3 цвета октаэдров:
Скрученноудлинённые чередующиеся кубические соты
Скрученноудлинённые чередующиеся кубические соты — это заполняющее пространство замощение (или соты) в трёхмерном евклидовом пространстве. Соты состоят из октаэдров, треугольных призм и тетраэдров в пропорции 1:2:2.
Соты являются вершинно-однородной фигурой с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами и 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины.
Это одни из 28 выпуклых однородных сот[англ.]
Удлинённые чередующиеся кубические соты[англ.] имеют то же самое расположение ячеек в каждой вершине но общее расположение отличается. В удлинённой форме каждая призма соприкасается с тетраэдра одной из треугольных граней и октаэдра другой гранью. В скрученноудлинённой форме призма соприкасается одного и того же вида дельтаэдров обоими концами.
-
Удлинённые чередующиеся кубические соты
| Удлинённые чередующиеся кубические соты
|
| Тип |
Выпуклые однородные соты[англ.]
|
| Символ Шлефли |
h{4,3,4}:e
{3,6}g1{}
|
| Ячейки |
{3,3}
{3,4}
(3.4.4)
|
| Грани |
треугольник {3}
квадрат {4}
|
| Вершинная фигура |
Трёхскатный купол, соединённый с равнобедренной шестиугольной пирамидой
|
| Группа |
[6,(3,2+,,2+)] ?
|
| Свойства |
вершинно транзитивные
|
Удлинённые чередующиеся кубические соты — это заполняющее пространство замощение (или соты) в трёхмерном евклидовом пространстве. Соты состоят из октаэдров, треугольных призм и тетраэдров в пропорции 1:2:2.
Соты являются вершинно-однородными с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами и 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины. Каждая призма соприкасается с октаэдром одним основанием и с тетраэдром другим.
Это одни из 28 выпуклых однородных сот[англ.].
Соты имеют повёрнутую форму, которая называется скрученно удлинёнными чередующимися кубическими сотам[англ.] с тем же расположение ячеек в каждой вершине.
Примечания
- Для перекрёстных ссылок даны обозначения от Андрейни (A:1-22), Уильямса(W:1-2,9-19), Джонсона (J:11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65) и Грюнбаума(G:1-28).
- The Lattice D3 .
- The Lattice A3 .
- Conway, Sloane, 1998, с. 119.
- The Lattice D3*
- Conway, Sloane, 1998, с. 120.
- Conway, Sloane, 1998, с. 466.
- [1], A000029 6-1 cases, skipping one with zero marks
Литература- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 292-298, includes all the nonprismatic forms). — ISBN 978-1-56881-220-5.
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
- Грюнбаум, Бранко, Uniform tilings of 3-space. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
- A. Andreini. Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets) // Mem. Societ Italiana della Scienze. — 1905. — Вып. 14. — С. 75–129.
Ссылки
|
|
